Экзаменационный билет № 18

Линейная, квадратичная интерполяция

Линейная и квадратичная интерполяция. Отрезок [a,b] делится узлами x_i (i=0,1,...,n) на n частичных отрезков [x_i-1,x_i], при этом x₀=a, x_n=b.

Для построения линейной интерполяции аппроксимируемая функция y=f(x) заменяется на каждом частичном отрезке [x_i-1,x_i] (i=1,2,...,n) многочленом первой степени, т.е. прямой линией:

(2.1)

проходящей через две точки, с координатами x_i-1,y_i-1=y(x_i-1) и x_i,y_i=y(x_i).

Следовательно на каждом отрезке [ x_i-1,x_i ] имеется своя прямая линия, которая описывается уравнением, проходящим через две точки. В результате для всего отрезка получаем ломаную линию, которая в узлах x_i совпадает со значением функции. Коэффициенты k_i и b_i определяются из следующей системы уравнений:

, i=1,...n. (2.2)

Из (2.2) получаем значения неизвестных коэффициентов:

(2.3)

Более точной является квадратичная интерполяция. В качестве интерполяционной функции на отрезке [ x_i-1,x_i+1 ] принимается квадратный трехчлен:

(2.4)

Так как это уравнение параболы, то такую интерполяцию также называют параболической. Уравнение параболы содержит три неизвестных коэффициента a_i, b_i, c_i, которые определяются из системы уравнений:

. (2.5)

Интерполяция для любой точки x отрезка [x₀,x_n] проходит по трем ближайшим точкам.

При линейной и параболической интерполяции имеются точки, где производная испытывает скачок. При линейной интерполяции это происходит в узлах, а при квадратичной там, где одни три точки заменяются на три другие точки. Этого недостатка лишена интерполяция сплайнами.

Метод Гаусса-Зейделя и метод простой итерации

Итерационные методы. Эти методы используются обычно при решении уравнений большого порядка, поскольку при итерационном процессе не накапливается ошибка округления.

Задается некоторое приближенное решение x⁽⁰⁾, затем производится цикл вычислений ( итераций ) и вычисляется новое приближение x⁽¹⁾. Процесс продолжается до получения решения с заданной точностью, т.е. до выполнения условий:

, i=1,2,...,n.

а) метод простой итерации (Метод Якоби). Система уравнений (2.1) сводится к виду:

(2.14)

Задаются значения нулевого приближения и вычисляется значение первого приближения , затем с помощью вычисляется значение и т.д. до . Затем процесс повторяется. С помощью значений вычисляется второе приближение и т.д. Здесь при вычислении k приближения для используется k-е приближение для значений и k-1 приближение для значений .

б) метод Гаусса-Зейделя. В этом методе система (2.1) также сводится к виду (2.14), при этом для вычисления всех значений k приближения для используются только значения (k-1) приближения .

Для сходимости интерполяционного процесса Якоби и Гаусса-Зейделя достаточно выполнения условия :

(2.15)

Метод Якоби применяются к системам с матрицами близким к диагональным, а метод Гаусса-Зейделя - близким к нижним треугольникам.

Собственные векторы и числа матрицы. Характеристическое уравнение

Экзаменационный билет № 19

Интерполяционный многочлен Лагранжа

Рассмотрим глобальную интерполяцию на отрезке [x₀,x_n], т.е. построение единого интерполяционного многочлена степени n

(2.6)

который в n+1 узле x_i (i=0,1,...,n) совпадает со значениями аппроксимирующей функции.

(2.7)

Коэффициенты a_k (k=0,1,...,n) определяются из системы линейных уравнений (2.7) n+1 порядка.

При больших n необходимо решать систему линейных уравнений большого порядка, т.е. проводить большой объем вычислений. Избежать этого позволяет обобщенный многочлен Лагранжа степени n:

(2.8)

где l_i(x) - многочлены Лагранжа определяемые по формулам:

(2.9)

где выражения в двойных скобках не должны учитываться, они написаны для пояснения алгоритма по которому образуются эти многочлены.

Из (2.8) следует:

(2.10)

Отметим, что при n=1 многочлен Лагранжа представляет собой линейную интерполяцию на отрезке [x₀,x₁], а при n=2 - квадратичную интерполяцию на отрезке [x₀,x₂].

Корни нелинейного уравнения. Основные этапы решения. Скорость сходимости

Под решением нелинейного уравнения:

f(x)=0 (2.1)

понимают нахождение корней этого уравнения, то есть определения значений , при которых выполняется условие: .

Корень называется простым, если . Корень называется кратным, если . Целое число m называется кратностью корня , если для всех k=1,2,...,m-1, а .

Решение уравнения (2.1) проводится в два этапа: этапа локализации корней и этапа итерационного уточнения корней. На этапе локализации выделяется отрезок [a,b], внутри которого находится только один корень.

На этапе итерационного уточнения корней задается точность вычислений  и используется итерационный процесс (итерационная формула), в результате которого вычисляются значения последовательности: При выполнении условия итерационный процесс заканчивается.

Если в итерационной формуле для вычисления приближения x_n используется только значение x_n-1, то метод называют одношаговым, и k-шаговым, если используется k предыдущих приближений: x_n-k,x_n-k+1,...,x_n-1.

Скорость сходимости итерационного процесса определяют с помощью следующего выражения, которое называется критерием сходимости итерационного процесса:

(2.2)

где число p называют порядком сходимости метода. Если p=1- сходимость линейная, p>1- сверх линейная сходимость, p=2- сходимость квадратичная.

Критерий окончания. Точное значение корня мы не знаем. Когда же закончить итерационный процесс, чтобы утверждать, что ?

Для каждого итерационного процесса существует свой критерий окончания в виде неравенства: при выполнении которого всегда имеет место неравенство:

Необходимое и достаточное условие минимума для функций многих переменных

а) необходимое условие. Необходимым условием минимума функции многих переменных является условие равенства нулю ее градиента:

(2.2)

или

б) достаточное условие. Достаточным условием является условие положительной определенности матриц Гессе:

(2.3)

Для положительной определенности матрица Гесса необходимо, чтобы ее собственные числа ₁,...,_m были положительны. Собственные числа ₁,...,_m являются корнями характеристического уравнения:

(2.4)

где det -определитель квадратной матрицы ранга m, Е - единичная матрица.

Матрица C=G-E называется характеристической матрицей для матрицы G.