Экзаменационный билет № 4

Погрешности арифметических операций. Правила оценки погрешности.

Погрешности функций

Погрешности арифметических операций:

а) при сложении и вычитании двух величин их абсолютные предельные погрешности складываются:

.

б) при умножении и делении двух величин друг на друга их относительные предельные погрешности складываются:

,

.

в) при возведении в степень приближенной величины ее относительная предельная погрешность умножается на показатель степени:

.

Погрешности функций:

Пусть а-приближенное значение аргумента x функции y=f(x), а а- абсолютная погрешность аргумента, т.е. При а<<1 для оценки абсолютной погрешности и относительной погрешностей функции используются следующие определение/

Абсолютной погрешностью функции y называется произведение модуля производной функции на абсолютную погрешность аргумента, а относительной погрешностью функции y называется отношение абсолютной погрешности функции к ее абсолютному значению, т.е.

Аналогичные соотношения можно записать для функции нескольких переменных, например, если U=f(x,y,z), то при:

имеет:

где частные производные, по соответствующим аргументам.

Особые случаи численного интегрирования

а) Интегрирование разрывных функций. Если подынтегральная функция в некоторых внутренних точках   ( ) интервала интегрирования терпит разрыв первого рода (скачок), то интеграл вычисляют численно для каждого участка непрерывности отдельно и результат складывают. Например, в случае одной точки разрыва   ( ) имеем

 

.

Для вычисления каждого из интегралов в правой части можно использовать любой из рассмотренных выше методов.

б) Несобственные интегралы. Напомним, что к такому типу интегралов относятся интегралы, которые имеют хотя бы одну бесконечную границу интегрирования или подынтегральную функцию, обращающуюся бесконечность хотя бы в одной точке интервала интегрирования.

Рассмотрим сначала интеграл с бесконечной границей интегрирования, например, интеграл вида

 

.

 

Один из универсальных способов вычисления такого интеграла состоит в следующем. Представим интеграл в виде суммы двух интегралов:

 

,

Метод деформированного многогранника

метод Нелдера-Мида. Когда не является гладкой и имеются множества точек, где она не дифференцируема используются прямые методы. Наиболее известным из них является метод деформированного многогранника или метод Нелдера-Мида. Задается m+1 точка . При этом все разности должны быть линейно независимыми, т.е. любые три из точек не должны лежать на одной прямой.

Обычно это делается следующим образом. Задаются координаты точки , а координаты остальных точек определяются с помощью соотношения где h - параметр, который определяет стороны многогранника.

Точки , i=1,2,...,m+1 являются сторонами равнобедренного многогранника (на плоскости это треугольник).

Исключается точка, в которой функция имеет самое большое значение, пусть это точка . Далее вычисляется среднее значение (или как иногда говорят центр тяжести) оставшихся точек:

(2.7)

Далее вычисляется пробная точка:

(2.8)

которая является симметричным отражением исключенной точки относительно точки .

Вычисляется значение функции в пробной точке и сравнивается с со значением в точке . Если значение в пробной точке меньше, то точка заменяется на точку и рассматривается новый многогранник с точками , где , а .

Если же значение в пробной точке больше, то выбирается новая пробная точка внутри многогранника:

(2.9)

и тоже рассматривается новый многогранник с точками , где , а . Многогранник при этом деформируется.

Периодически многогранник восстанавливают. За новую базовую точку принимается точка, в которой функция минимальна, а величина шага h выбирается равной средней длине всех граней, исходящих из точки .

Процесс заканчивается, когда длины всех сторон многогранника станут меньше некоторого выбранного .

Экзаменационный билет № 5

Особенности математических вычислений, реализуемых на ЭВМ.

Система счисления. Представление целых и вещественных чисел на ЭВМ

С целыми числами арифметические операции сложения, вычитания и умножения выполняются точно.

Машинное эпсилон определяется количеством разрядов в ячейке памяти, которое отводится для хранения мантиссы числа, а машинный нуль определяется количеством разрядов, которое отводится для хранения порядка.

Знак|Порядок|Мантисса

Интегрирование с помощью сплайнов

Сплайновые методы базируются на аппроксимации подынтегральной функции сплайнами. Методы различаются по типу выбранных сплайнов. Такие методы имеет смысл использовать в задачах, где алгоритмы сплайновой аппроксимации применяются для обработки данных.

Оценка погрешности численного дифференцирования

При численном дифференцировании с использованием приближенной формулы , например, по формулам

(2.3)

(2.4)

(2.5)

естественно возникает погрешность: R(x,h)=y(x)-y_h(x), где y(x) - точное значение производной, y_h(x)- значение производной вычисленное по приближенной формуле при шаге h.

Величина погрешности зависит от точки x, в которой вычисляется производная, и от шага h, чем меньше шаг, тем естественно погрешность меньше. Обычно погрешность R(x,h) записывают одним из способов:

(2.6)

где, (x)h^k- называется главной частью погрешности аппроксимации, т.к. в формуле (2.6) это слагаемое при h<<1 будет гораздо больше второго, а величина k называется порядком погрешности или порядком точности аппроксимации относительно шага h.

С помощью разложения в ряд Тейлора получены следующие оценки погрешности для формул (2.3-2.5):

левая разность;

правая разность; (2.7)

центральная разность.

Из этих формул следует, что центральная разность имеет самый высокий порядок точности, а именно, второй порядок по h.