Экзаменационный билет № 6

Точность и диапазон представления вещественных чисел на ЭВМ

Вещественные числа обычно представляются в виде чисел с плавающей запятой. Числа с плавающей запятой — один из возможных способов представления действительных чисел, который является компромиссом между точностью и диапазоном принимаемых значений.

Число с плавающей запятой состоит из набора отдельных двоичных разрядов, условно разделенных на так называемые знак (англ. sign), порядок (англ. exponent) и мантиссу (англ. mantis). В наиболее распространённом формате (стандарт IEEE 754) число с плавающей запятой представляется в виде набора битов, часть из которых кодирует собой мантиссу числа, другая часть — показатель степени, и ещё один бит используется для указания знака числа ( — если число положительное, — если число отрицательное). При этом порядок записывается как целое число в коде со сдвигом, а мантисса — в нормализованном виде, своей дробной частью в двоичной системе счисления. Вот пример такого числа из двоичных разрядов.

Правило Рунге для задачи численного интегрирования. Уточнение по Ричардсону

Пусть I - точное значение интеграла, I_h - значение интеграла, вычисленное по квадратурной формуле с шагом h, а I_h_/2- значение того же интеграла, вычисленное для шага h/2.

Можем записать:

(2.15)

где c - константа.

Величина ch^k- называется главной частью погрешности квадратурной формулы с порядком точности k по шагу h. Остальная часть погрешности обозначена как 0(h^k⁺¹) и имеет порядок k+1.

Вычитая из первого уравнения (2.15) второе получаем соотношение, которое с точностью порядка 0(h^k⁺¹) позволяет вычислить значение главной части погрешности:

(2.16)

Данная формула называется практической оценкой погрешности по правилу Рунге:

Подставляя (2.16) в первую формулу (2.15) получаем формулу для уточнения значение интеграла по Ричардсону:

(2.17)

Для формул прямоугольников, трапеций и ячеек имеем k=2, для формул Симпсона - k=4.

Полиномы Лежандра

Экзаменационный билет № 7

Корректность вычислительной задачи. Существование, единственность и устойчивость решения

Вычислительная задача называется корректной:

Решение существует при любых входных данных
Решение единственно
Решение устойчиво по отношению к малым возмущения входных данных(погрешность решения стремится к нулю, когда погрешность входных данных стремится к нулю.).

Основные квадратурные формулы (прямоугольников, трапеций, Симпсона)

Основные квадратурные формулы. Для вычисления определенных интегралов используется приближенное соотношение:

(2.3)

которое называется квадратурной формулой с узлами _i и весами q_i.

В формуле (2.3) интеграл приближенно заменяется конечной суммой, члены которой представляют произведение значений функций в некоторых узлах на некоторую величину. Наиболее часто используются следующие квадратурные формулы:

а) формула прямоугольников:

(2.4)