14. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Методы Лагранжа и Бернулли.(вопрос14)

Дифференциальное уравнение называется линейным, если в нём функция и все её производные содержатся только в первой степени, отсутствуют и их произведения. Общий вид линейного дифференциального уравнения первого порядка таков: , где и - непрерывные функции от x.

Методы решения линейных дифференциальных уравнений:

1.Метод Лагранжа.

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение y⁽ⁿ⁾ + a_n-1(x)y^{(n - 1)} + ... + a₁(x)y' + a₀(x)y = f(x).

с нерерывными на [a; b] коэффициентами и непрерывной правой частью.

Предположим, что известна фундаментальная система y₁(x), y₂(x),..., y_n(x) решений соответствующего однородного уравнения   y⁽ⁿ⁾ + a_n-1(x)y^{(n - 1)} + ... + a₁(x)y' + a₀(x)y = 0.

Будем искать частное решение неоднородного уравнения в виде

y*(x) = C₁(x) y₁(x) + C₂(x) y₂(x) + ... + C_n(x) y_n(x) ,

где C₁(x), C₂(x) , ... , C_n(x) — неизвестные, n раз дифференцируемые на [a; b] функции. Их называют варьируемые постоянные общего решения однородного уравнения.

Справедливо следующее утверждение.

Пусть y₁(x), y₂(x),..., y_n(x) — фундаментальная система решений однородного уравнения   y⁽ⁿ⁾ + a_n-1(x)y^{(n - 1)} + ... + a₁(x)y' + a₀(x)y = 0 с непрерывными на отрезке [a; b] коэффициентами. Если правая часть f(x) неоднородного уравнения   y⁽ⁿ⁾ + a_n-1(x)y^{(n - 1)} + ... + a₁(x)y' + a₀(x)y = f(x) непрерывна на [a; b], то его частное решение можно искать в виде

y*(x) = y(x,C₁,..., C_n) = C₁(x) y₁(x) + C₂(x) y₂(x) + ... + C_n(x) y_n(x) .

Неизвестные функции C₁(x), C₂(x) , ... , C_n(x) находятся из системы

2. Метод Бернулли.

Решение линейного дифференциального уравнения необходимо представить в виде произведения двух неизвестных функций y=u*v от аргумента u=u(x), v=v(x). Одну из этих функций можно выбрать произвольно, а вторая определяется из дифференциального уравнения.

2. По правилу производная произведения равна y=u*v, то y'=u'v+uv'.

3. Подставим запись функции y=u*v и производной y'=u'v+uv' в уравнение y'+p(x)*y=g(x) и получим u'v+uv'+p(x)*u*v= g(x). Сгруппируем второй и третий слагаемые, вынеся общий множитель (u) за скобки и придем к диф. уравнению u'v+u(v'+p(x)*v)=g(x).

4. Сперва определяем частное решение v=v(x), для этого решаем диф. уравнения v'+p(x)*v=0 и за произвольную постоянную интегрирования берем ноль (С=0). Данное уравнение является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

5. Далее подставим найденную функцию v=v(x) в исходное диф. уравнение u'v+uv'+p(x)*u*v= g(x), которое при этом упростится до вида u'v+u*0=g(x), то есть к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными u'v(х)=g(x) относительно u(x). Из этого уравнения находим u=u(x)+С.

6. Имея u=u(x) и v=v(x) находим общее решение ДУ через произведение y=u*v=( u(x)+С)* v(x).

7. Если задана задача Коши то с дополнительной условия на решение y(x0)=y0 определяем старую С.

15. Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. Теорема существования и единственности задачи Коши. Общее решение. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.

Определение: если дифференциальное уравнение F(x,y,y’,….y⁽ⁿ⁾)=0 содержит производную неизвестной функции y=y(x) порядка выше первого (n>1), то его называют уравнением высшего порядка.

Задача Коши: в случае уравнения первого порядка задавалось всего одно начальное условие. Для дифференциальных уравнений n-го порядка таких условий должно быть n.Именно: пусть (x_0, y_0,y₁⁰….,y⁰_(n-1)) - фиксированная точка области D (область определения уравнения).Задача отыскания решения y=y(x) уравнения, удовлетворяющего начальным условиям y(x₀)=y_0,y’(x₀)=y₁⁰,….y^(n-1)(x₀)=y_n-1⁰ называется начальной задачей или задачей Коши.

Теорема Коши: пусть функция f(x,y,y_1….y_n-1) и ее частные производные непрерывны на области D.Тогда какова бы ни была начальная точка (x_0, y_0,y₁⁰….,y⁰_(n-1)), лежащая внутри данной области, существует такое число h>0, такое что задача Коши имеет решение на отрезке [x₀-h;x₀+h] и это решение единственно на данном отрезке.

Общее решение в области Q ⸦ D называется функция y= Ф(х, С_1,…С_n), зависящая от n произвольных постоянных С_1,…С_n, удовлетворяющая следующим требованиям:

1. при любом допустимом значении постоянных С_1,…С_n функция y= Ф(х, С_1,…С_n) является решением дифференциального уравнения на некотором отрезке [a,b] .

2. какова бы ни была начальная точка (x_0, y_0,y₁⁰….,y⁰_(n-1))) ϵ Q существуют постоянные С₁=С₁⁰,… С_n=C_n⁰ такие, что функция y=Ф(х, С_1,…С_n), является решением именно этой задачи Коши.

Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка:

1. Уравнение не содержит   и 

Это дифференциальное уравнение вида  . Произведём замену переменной: введём новую функцию   и тогда  . Следовательно,   и исходное уравнение превращается в уравнение первого порядка с искомой функцией  .Решая его, находим  . Так как  , то  .Отсюда, интегрируя ещё раз, получаем решение исходного уравнения: ,где   и   - произвольные константы интегрирования.

2. Уравнение не содержит 

Это дифференциальное уравнение вида  . Произведём замену переменной как в предыдущем случае: введём  , тогда  , и уравнение преобразуется в уравнение первого порядка  . Решая его, найдём  . Так как  , то  .Отсюда, интегрируя ещё раз, получаем решение исходного уравнения: ,где   и   - произвольные константы интегрирования.

3. Уравнение не содержит 

Это уравнение вида  . Вводим новую функцию  , полагая  . Тогда

.

Подставляя в уравнение выражения для   и  , получаем уравнение первого порядка относительно z как функции от y: .Решая его, найдём  . Так как  , то  . Получено дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, из которого находим общее решение исходного уравнения: ,где   и   - произвольные константы интегрирования.