Приложение двойных и тройных интегралов. (вопрос 5)

Циркуляция векторного поля   по замкнутому контуру   равна потоку ротора этого векторного поля через произвольную поверхность  , опирающуюся на контур  .

Теорема Стокса: Пусть контур  L  является границей поверхности  S, вдоль которой определена векторная функция  A . Тогда циркуляция векторного поля  A  по замкнутому контуру  L  равна потоку ротора  A  через поверхность  S, натянутую на контур  L :

Доказательство: Разобьём поверхность S на малые элементы , каждый из которых представляет собой достаточно плоский участок, что соответствует разбиению контура L на петли, сумма циркуляций по которым равна циркуляции по исходному контуру. Контур  L, являющийся границей некоторой поверхности  S, разбивается на множество малых контуров  , лежащих на поверхности  S. Согласно определению ротора, циркуляцию вектора  A  вдоль бесконечно малого контура  ΔL_k , являющегося границей элемента поверхности  ΔS_k , можно представить в виде где   – площадь элемента  ;     – проекция  rot A  на нормаль к    .  Суммирование по всем элементам дает в левой части этого равенства циркуляцию вектора  A  по контуру  L , а в правой – интегральную сумму, соответствующую поверхностному интегралу второго рода от ротора  A.  Предельный переход, означающий разбиение контура на петли бесконечно малых размеров, обеспечивает выполнение точного равенства между циркуляцией векторного поля  A  и потоком ротора  A  через поверхность, натянутую на контур.

11. Потенциальное и соленоидальное векторные поля и их свойства.

Векторное поле  A  называется соленоидальным, если дивергенция этого поля равна нулю:  div A = 0. В таком поле - согласно теореме Остроградского-Гаусса - поток вектора  A  через любую замкнутую поверхность равен нулю:

Векторное поле   - потенциальное, если   Функция u называется потенциалом векторного поля  . Поле   потенциально в односвязной области тогда и только тогда, когда   или   Потенциал в этом случае можно найти, например, по формуле

12. Дифференциальные уравнения. Основные понятия. Общее частное решение решения, интегральные кривые. Дифференциальное уравнение первого порядка. Задача Коши. Теорема существования и единственности задачи Коши. (ВОПРОС 12)

Определение: дифференциальные уравнения- уравнения, в которых неизвестная функция входит под знак производной или дифференциала.

Основные понятия: 1. Обычные дифференциальные уравнения – уравнения, в которых неизвестная функция зависит только от одного аргумента.

2. Дифференциальные уравнения в частных производных – уравнения, в которых неизвестная функция зависит от двух или более аргументов.

3. Порядком дифференциального уравнения называется максимальный порядок входящей в него производной (или дифференциала) неизвестной функции.

4. Решением дифференциального уравнения n-го порядка на отрезке [a,b], является функция y=y(x),если выполняются следующие условия : 1. Точка (x,y(x)) ϵ D при всех x ϵ [a,b];

2. функция y=y(x) дифференцируема на отрезке [a,b] и при всех x ϵ [a,b] имеет место тождество

5. Областью определения уравнения называется множество D пар (x,y), при которых его правая часть f(x,y) имеет смысл (т.е. может быть вычислена).

6. Интегральная кривая – график решения дифференциального уравнения.

Общее решение дифференциального уравнения в области Q ⸦ D называется функция y= Ф(х, С), зависящая от произвольной постоянной С, удовлетворяющая следующим требованиям:

1. при любом допустимом значении постоянно С функция y= Ф(х, С) является решением дифференциального уравнения на некотором отрезке [a,b] .

2. какова бы ни была задача Коши с начальной точкой (x₀,y₀) ϵ Q существует постоянная С=С⁰ такая, что функция y= Ф(х, С) является решением именно этой задачи Коши.

Дифференциальные уравнения первого порядка: Дифференциальное уравнение 1–го порядка имеет бесконечно много решений. Для того чтобы выделить единственное решение, нужно задать дополнительные (начальные) условия.

Задача отыскания решения y = y(x) уравнения F(x, y, y ' ) = 0 , удовлетворяющего условию y(x₀) = y₀, называется задачей Коши (или начальной задачей).Условие y(x₀) = y₀ — начальное условие.

Любое конкретное решение y = y(x) (решение задачи Коши) уравнения 1–го порядка, называется частным решением уравнения.

Общее решение уравнения, записанное в неявной форме Φ(x, y) = C, называется общим интегралом уравнения.

Частное решение уравнения, записанное в неявной форме Φ(x, y) = 0, называется частным интегралом уравнения.

Уравнение 1-го порядка, разрешенное относительно производной, называют уравнением, записанными в нормальной форме:

Уравнения первого порядка часто записывают в дифференциальной форме: M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0.

Решение такого уравнения можно искать как в виде y = y(x) , так и в виде x = x(y) .

Теорема Коши: Пусть функция f(x,y) и ее частная производная f’_y(x,y) непрерывны в области D.Тогда какова бы ни была начальная точка (x₀,y₀), лежащая внутри области D, существует отрезок [x₀-h;x₀+h] такой, что задача Коши с начальной точкой (x₀,y₀) имеет решение y=y(x) на этом отрезке и это решение единственно. Геометрически это означает, что в некоторой окрестности точки (x₀,y₀) существует интегральная кривая, проходящая через точку (x₀,y₀), причем такая интегральная кривая единственна.

13. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Однородные дифференциальные уравнения. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах.(ВОПРОС13)

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными- уравнение вида

Методы решения уравнений с разделяющимися переменными: путем деления на произведение f₂(y)*g₁(x),получим , далее находим общий интеграл от полученного выражения.

Однородные дифференциальные уравнения – уравнения вида ,если и - однородные функции одной и той же степени.

Методы решения однородных дифференциальных уравнений: решение сводится к решению дифференциального уравнения с разделяющимися переменными. Для этого преобразуем уравнение к виду или , где - однородная функция нулевой степени как отношение однородных функций одинаковых степеней. Это равенство справедливо при любом t. В частности, если  , то или , т.е. функция  представлена в виде функции от .Обозначим это отношение через z, т. , откуда Тогда ,преобразуем в Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделив переменные и выполнив почленное интегрирование, затем следует заменить z на .

Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах называется уравнение вида где левая часть является полным дифференциалом некоторой функции F(x, y). Решить дифференциальное уравнение в полных дифференциалах значит найти такую функцию F(x, y), полный дифференциал от которой