2. Криволинейные интегралы

2.1. Криволинейные интегралы

ПЕРВОГО РОДА

Рис. 2.1

Пусть в пространстве имеется некоторая гладкая кривая АВ, в каждой точке которой задана непрерывная функция f(x,y,z) (рис. 2.1). Пусть {l_i} - произвольное разбиение кривой АВ на n частей. Выберем в каждой дуге произвольным образом точку M_i и составим сумму

. (2.1)

Определение. Предел интегральных сумм (2.1) при стремлении максимального диаметра разбиения к нулю называется криволинейным интегралом первого рода от функции f по кривой АВ и обозначается

.

Таким образом, .

Криволинейный интеграл первого рода также называют криволинейным интегралом по длине дуги или от скалярной функции.

Необходимо отметить, что криволинейный интеграл первого рода не зависит от направления кривой АВ. Обычный определенный интеграл является частным случаем криволинейного, когда кривая интегрирования совпадает с осью Ox.

Физический смысл криволинейного интеграла I рода

Криволинейный интеграл от функции (x, y, z) по кривой АВ равен массе материальной кривой АВ, имеющей переменную линейную плотность (x, y, z), т.е.

.

Если  = 1, то интеграл равен длине дуги кривой АВ,

.

Вычисление криволинейного интеграла I рода

1. Если плоская кривая задана уравнением y = y(x), где a  x  b, то элемент дуги равен , тогда криволинейный интеграл вычисляется по формуле

.

2. Если плоская кривая задана параметрически х=х(t), y=y(t) (t₁  t  t₂), то

, .

3. Если кривая пространственная, тогда

.

2.2. Криволинейные интегралы

ВТОРОГО РОДА

Пусть в пространстве заданы: направленная гладкая кривая АВ, функция P(x, y, z) на этой кривой, {l_i} - произвольное разбиение кривой АВ, точка M_il_i, x_i - проекция дуги l_i на ось Ох.

Определение. Предел интегральных сумм

,

если максимальный диаметр разбиения {l_i} стремится к нулю, называется криволинейным интегралом второго рода по координате x и обозначается

.

Аналогично определяются криволинейные интегралы по координатам у и z, их обозначают

и .

Определение. Интеграл

называется общим криволинейным интегралом второго рода или криволинейным интегралом по координатам.

Отметим, что при изменении направления кривой АВ криволинейный интеграл второго рода меняет свое значение на противоположное, т.е.

= .

Механический смысл криволинейного интеграла

П редположим, что при движении по кривой АВ материальная точка Р, имеющая единичную массу, переходит из положения А в положение В. Дифференциал радиус-вектора точки кривой направлен по касательной и вычисляется по формуле:

.

В

Рис. 2.2

о время движения на точку действует переменная сила , заданная своими проекциями F_x, F_y, F_z на координатные оси, т.е.

.

Тогда работа силы на малом участке ∆l_i равна скалярному произведению , а на всем пути АВ равна общему криволинейному интегралу второго рода

(2.2)

Поэтому криволинейный интеграл второго рода называют также криволинейным интегралом от векторной функции.

Вычисление криволинейного интеграла II рода

1. Если пространственная кривая задана параметрическими уравнениями х = х(t), y=y(t), z = z(t) (t₁  t  t₂), то вместо каждой координаты в интеграл надо подставить ее выражение

=

=

.

2. Если кривая плоская и задана уравнением y=(x), где a  x  b, то

.

3. Если плоская кривая интегрирования замкнута, то криволинейный интеграл обозначают . Интеграл не зависит от того, какую точку берут за начало. Положительным направлением обхода считают движение по часовой стрелке. При вычислении интеграла по замкнутому контуру можно использовать формулу Грина, которая позволяет перейти к двойному интегралу.

Формула Грина

Если C – граница области D и функции P и Q вместе со своими частными производными и непрерывны в области D, то справедлива формула Грина:

, (2.3)

контур обходится так, чтобы область оставалась слева (пример 2.2).

Условие независимости от пути интегрирования

Обычно криволинейный интеграл зависит от линии интегрирования. Взятый вдоль разных линий, соединяющих точки А и В, он будет иметь различные значения. Но если в некоторой односвязной области D выражение Pdx + Qdy является полным дифференциалом, то криволинейный интеграл не зависит от линии интегрирования, соединяющей точки А и В, а взятый по любой замкнутой линии, равен нулю, т.е. = 0.

Напомним, что выражение Pdx + Qdy будет полным дифференциалом некоторой функции u(x, y), если = и P, Q, P’_y, Q’_x непрерывны в области D. Тогда интеграл можно вычислить по формуле Ньютона-Лейбница,

.

Пример 2.1. Теплота сгорания топлива q (МДж/кг), КПД двигателей  (). Рассматривая летательный аппарат как материальную точку массы m, найти массу горючего M, необходимого для перемещения аппарата в силовом поле

(x, y) =

вдоль траектории L:

Рис.2.3

от точки A(2; 0) до точки B(-2; 0) (сила дана в килоньютонах, координаты - в километрах).

Решение. Найдем работу, совершаемую переменной силой при движении материальной точки единичной массы вдоль траектории L по формуле (2.2). Для этого зададим дугу L параметрически: ; в точке А значение параметра t = 0, в точке В - t = .

=

=

= .

Так как сила дана в кН = 10³Н, а путь в км = 10³м, то работа имеет размерность 10⁶Дж=МДж. Работа А отрицательна потому, что для перемещения тела вдоль траектории L от точки А до точки В необходимо совершить работу против силы .

По определению КПД есть отношение полезной энергии Е_полезн к затраченной Е_затр, т.е. (%). Будем считать, что полезная энергия равна по модулю совершенной работе. Отсюда

(МДж).

Вычисленная энергия необходима для перемещения точки единичной массы, следовательно, чтобы переместить вдоль пути L летательный аппарат массы m, необходимо затратить энергию в m раз больше, т.е.

Е = mЕ_затр = (МДж).

Расход горючего при этом (кг).

Ответ: масса горючего кг.

Пример 2.2. Вычислить криволинейный интеграл по замкнутому контуру , где С – эллипс с полуосями а и b.

Р

Рис. 2.4.

ешение. В данном случае P = x + y, Q = -(x – y). Частные производные . Условие непрерывности функций P и Q и их частных производных выполняется, контур замкнут, поэтому можно применить формулу Грина (2.3).

.

Последний интеграл равен площади области D, т.е. площади эллипса: .

Ответ: - 2π ab.