Лекция № 13
11.4. Виды расстроек и полоса пропускания последовательного контура
При анализе частотных характеристик колебательных контуров используется понятие обобщенной расстройки
.
Нулевое значение обобщённой настройка
соответствует резонансной частоте
контура
,
отрицательные значения
— частотам ниже резонансной
,
а положительные значения
— частотам выше резонансной
.
Нулевой частоте
соответствует значение обобщённой
настройка
,
а бесконечно большой частот
— значение
.
Используя обобщённую настройку, можно нормированные частотные характеристики тока контура представить в виде:
;
.
Зависимость модуля и аргумента нормированного тока последовательного контура от обобщенной расстройки показаны на рис. 11.7.
Рис. 11.7
Использование обобщённой настройки
позволяет перенести область частот,
соответствующую резонансу, в начало
координат, а также представить семейство
характеристик, соответствующих контурам
с различными добротностями и резонансными
частотами настройки, в виде одно функции
переменной
.
При анализе частотных характеристик колебательных контуров в области частот вблизи резонансной частоты обычно используется следующее приближенное равенство
,
где
=
— абсолютной расстройкой контура,
которая положительна при
и отрицательна при
;
— относительной расстройкой контура.
Тогда вблизи резонансной частоты
,
а обобщенная расстройка
.
С учётом последнего соотношения нормированные входные частотные характеристик контура можно записать в виде:
;
.
Полученные выражения достаточно точно
описывают частотные характеристики
при малых расстройках
.
Полоса частот близи резонанса, на
границах которой ток контура уменьшается
до уровня
относительно максимального значения
называется полосой пропускания
контура и обозначается в виде
.
Тогда на границах полосы должно выполняться следующее условие
.
Решая полученное уравнение, находим
границы полосы пропускания:
— нижняя граница и
— верхняя граница. Тогда полоса
пропускания контура на уровне
,
выраженная через обобщённую расстройку,
будет равна
.
На рис. 11.7 границы полосы пропускания
указаны пунктирными линиями. При этом
ФЧХ на границах полосы пропускания
имеет следующие значения
;
.
Подставляя граничные значения
и
в общее выражение обобщённой расстройки
,
получаем уравнения для определения
граничных частот
,
полосы пропускания на уровне
:
,
,
которые преобразуются к виду
,
.
Решая уравнения, находим граничных частот полосы пропускания:
,
.
Определяем полосу пропускания контура на уровне на уровне , выраженную в герцах:
.
Полученное соотношение часто используется
для оценки добротности контура путём
экспериментального измерения резонансной
частоты
и полосы пропускания
контура, зная которые, определяют
добротности контура по формуле
.
11.5. Комплексный коэффициент передачи последовательного контура
Определим комплексный коэффициент передачи последовательного контура (рис. 11.2, а) по напряжению в режиме холостого хода в случае, когда выходное напряжение снимается с индуктивности,
где
и
— модуль и аргумент комплексного
коэффициента передачи, которые определяют
АЧХ и ФЧХ контура соответственно
Аналогичным образом определим комплексный коэффициент передачи контура в режиме холостого хода в случае, когда выходное напряжение снимается с ёмкости (рис. 11.2, б),
.
В данном случае АЧХ и ФЧХ контура будут иметь вид
;
.
Проанализируем найденные частотные
характеристики последовательного
колебательного контура. При подаче на
контур постоянного напряжения имеющего
частоту
,
напряжение на индуктивности будет равно
нулю
,
поскольку её сопротивление равно нулю,
и модуль коэффициента передачи
.
При этом напряжения на ёмкости будет
равно входному напряжению, поскольку
на постоянно токе сопротивление ёмкости
бесконечно велико, и модуль коэффициента
передачи
.
На резонансной частоте
модули обоих коэффициентов передачи
равны добротности контура
.
В результате, при резонансе амплитуда
напряжения на реактивных элементах
контура в
раз превышает амплитуду входного
напряжения.
На бесконечно большой частоте
сопротивление индуктивности бесконечно
велико, поэтому напряжение на ней будет
равно входному напряжению и
.
На той же частоте сопротивление ёмкости
будет равно нулю и поэтому
.
Проанализируем положение максимумов найденных АЧХ колебательного контура.
Преобразуем АЧХ контура в случае, когда выходное напряжение снимается с индуктивности,
.
Определим частоту, соответствующую максимуму рассматриваемой функции, решая уравнение
,
которое сводится к виду:
;
.
Решая последнее уравнение, находим искомую частоту, учитывая, что физический смысл имеет только её положительное значение,
.
Подставляя найденное значение частоты
в функцию
,
находим её максимум АЧХ
.
Выполняя аналогичный анализ АЧХ контура в случае, когда выходное напряжение снимается с ёмкости, находим частоту соответствующую её максимуму
,
.
Из найденных выражений следует, что
максимум функции
располагается на частоте больше
резонансной
,
а максимум функции
— на частоте меньше резонансной
.
При этом максимумы обеих АЧХ превышают
значение добротности
.
Однако, поскольку в радиотехнических
устройствах обычно используются
колебательный контура с добротностью
не менее
,
то отклонения частот
и
от резонансной частоты
и максимумов АЧХ от значения добротности
пренебрежимо малы, поэтому обычно
полагают, что
и
.
Частотные характеристики последовательного
колебательного контура, построенные с
учётом результатов выполненного анализа,
показаны на рис. 11.8. На резонансной
частоте
АЧХ пересекаются в точке с координатами
и
.
Рис. 11.8
Частотная избирательность последовательного колебательного контура проявляется в том, что, если на контура подать воздействие в виде суммы гармонических колебаний, имеющих одинаковые амплитуды и различные частоты, то его на выходе амплитуды колебаний, частота которых близка к резонансной частоте контура значительно превышают амплитуды колебаний, частоты которых отличаются от резонансной. При этом говорят, что колебательный контур пропускает» колебания одних частот и не пропускает колебания других частот.