4.3. Комплексное изображение гармонической функции

Рассмотрим показательную комплексную функцию времени

, (4.6)

у которой модуль и аргумент совпадают с амплитудой и мгновенной фазой гармонической функции (4.4).

Выделив в (4.5) в виде сомножителя оператор вращения , получим

, (4.7)

где

, (4.8)

— величина, называемая комплексной амплитудой, в обозначении которой точка над символом широко используется в технической литературе.

Из (4.8) видно, что комплексная амплитуда не зависит от времени, а её модуль и аргумент равны соответственно амплитуде и начальной фазе гармонической функции (4.4).

Используя формулу Эйлера , запишем функцию (4.6) в тригонометрической форме

, (4.9)

Сравнивая формулы (4.9) и (4.4), видно, что действительная часть (4.9) совпадает с гармонической функцией (4.4). Указанное соответствие записывается в символическом виде следующим образом

,

где « » — символом соответствия, который не следует путать со знаком равенства «=».

При этом гармоническую функцию (4.4) называют оригиналом, а комплексную функцию (4.6) — изображением.

На комплексной плоскости функция (4.6) изображается в виде вектора длиной , вращающегося с угловой скоростью вокруг начала координат в направлении против часовой стрелки, которое на векторных диаграммах принимают за положительное изменению мгновенной фазы (рис. 4.6). Проекция вектора на вещественную ось совпадает с гармонической функцией (4.4), а начальное положение вектора в момент — с начальной фазой этой функции.

В качестве изображения гармонической функции (4.4) наряду с комплексной амплитудой используется комплексное действующее значение

, (4.10)

модуль которого равен действующему значению , а аргумент  — начальной фазе: гармонической функции.

С

Рис. 4.6

учётом (4.5) комплексное действующее значение может быть выражено через комплексную амплитуду

.

Рассмотрим примеры преобразования гармонических функций напряжения и тока в комплексные амплитуды, а также обратного преобразования.

Пример 1 Найти комплексные амплитуды напряжения В и тока .

Решение: В, А.

Пример 2 Зная комплексные амплитуды напряжения В и тока , найти соответствующие им гармонические функции.

Решение: В, А.

Лекция № 5

4.4. Понятие о методе комплексных амплитуд

Поскольку в реактивных элементах цепи (ёмкости и индуктивности) ток и напряжение связаны интегрально-дифференциальные соотношениями (2.4), (2.5) и (2.10), (2.11), то уравнения электрического равновесия такой будут представлять собой интегрально-дифференциальные уравнения, решение которых во временной области переменной является достаточно трудоемкой задачей.

Однако, поскольку производная и интеграл по времени любого порядка от гармонической функции представляют собой также гармоническую функцию, то при гармоническом воздействии все напряжения и токи цепи, в установившемся режиме будут также гармоническими функциями времени той же частоты, что и частота воздействия. Поэтому всем этим гармоническим функциям будет соответствовать комплексные изображения, аналогичные функции , важным свойством которой является то, что она не изменяет своего вида при многократном дифференцировании и интегрировании по времени. Действительно, производная n-го порядка по времени от функции имеют вид , то есть сводится к умножению исходной функции на столько раз, каков порядок производной. Последовательное n-кратное интегрирование по времени функции преобразует её к виду , то есть сводится к делению исходной функции на столько раз, каков порядок интеграла.

Метод комплексных амплитуд заключается в следующем. В интегрально-дифференциальных уравнениях цепи все вещественных гармонические функций напряжений и токов (оригиналы), заменяют изображениям в виде комплексных показательных функций и выполняют операций дифференцирования и интегрирования. В результате все уравнения будут содержать только слагаемые вида и , в состав которых входит сомножитель . После сокращения этого сомножителя уравнения преобразуются из интегрально-дифференциальных в алгебраические.

Решая полученных алгебраические уравнения при условии постоянства частоты , находят комплексные амплитуды токов и напряжений, зная которые определяют вещественные гармонические функции токов и напряжений путем обратного перехода от изображений к оригиналам.

Достоинством метода комплексных амплитуд является существенное упрощение расчёта цепи, а недостатком — возможность расчета цепи только при гармоническом воздействии и только в установившемся режиме