9.3. Коэффициент связи между катушками индуктивности

Коэффициент связи между катушками индуктивности определяется как среднее геометрическое отношений, которые показывают, какая часть магнитного потока самоиндукции одной катушки проходит через витки другой катушки,

.

Отсюда следует, что значение коэффициента связи удовлетворяет условию

.

При поток самоиндукции одной из катушек полностью проходит через витки другой катушки, что обеспечивает максимальную магнитную связь между катушками. При магнитная связь между катушками отсутствует.

Зависимость составляющих потокосцепления индуктивно связанных катушек с токами, числом витков, собственными и взаимными индуктивностями выражается следующими уравнениями:

;

;

;

.

Решив эти уравнения относительно магнитных потоков и подставив их в выражение для коэффициента связи, получим

,

Откуда

.

С учётом возможных значений коэффициента связи определяем пределы изменения взаимной индуктивности

.

Очевидно, что максимальное значение взаимной индуктивности катушек не может превышать среднего геометрического значения их собственных индуктивностей.

9.4. Эквивалентное преобразование участков цепи, содержащих индуктивно связанные катушки

Рассмотрим цепи, состоящей из последовательно соединённых индуктивно связанных катушек (рис. 9.4).

а) б) в)

Рис. 9.4

Полагая ток цепи равным , определим в комплексной форме напряжение цепи при согласном включении катушек (рис. 9.4, а)

и при встречном включении катушек (рис. 9.4, б)

.

Из полученных соотношений следует, что эквивалентная индуктивность цепи определяется по формуле

.

где знак «плюс» соответствует согласному включению катушек, а знак «минус» – встречному.

Тогда рассматриваемая цепь может быть заменена эквивалентной схемой, показанной на рис. 9.4, в).

Рассмотрим цепи, состоящей из параллельно соединённых индуктивно связанных катушек (рис. 9.5).

а) б) в)

Рис. 9.5

При согласном включении катушек (рис. 9.5, а) напряжение, приложенное к цепи, может быть выражено через токи катушек в следующем виде:

Решая втрое уравнение относительно тока второй катушки

.

и подставляя полученное выражение в первое уравнение

.

решая которое, находим

.

Аналогичным образом определяется ток второй катушки

.

Определим входной ток цепи

.

Тогда эквивалентное комплексное сопротивление цепи будет равно

.

Аналогичным образом можно определить эквивалентное комплексное сопротивление цепи при встречном включении катушек (рис. 9.5, б)

.

Из полученных соотношений следует, что эквивалентная индуктивность цепи (рис. 9.5, в) определяется по формуле

,

в которой знак минус соответствует согласному, а знак плюс — встречному включению катушек.

Лекция № 11

9.5. Линейный трансформатор без сердечника и его характеристики

Трансформатором называется устройство для передачи энергии из одной части электрической цепи в другую, действие которого основано на использовании явления взаимоиндукции.

Трансформатор как электрическое устройство относится к классу электрических машин и применяется для повышения или понижения амплитудных значений переменных напряжений и токов. С этой точки зрения различают повышающие и понижающие трансформаторы.

Конструктивно трансформатор состоит из двух или более индуктивно связанных катушек, называемых обмотками. Обмотки трансформатора обычно наматываются изолированным медным проводом на общем каркасе или безкаркасно одна на другую и разделяются диэлектрическими прокладками. После чего в каркас вставляется замкнутый ферромагнитный сердечник, что позволяет существенно уменьшить магнитный поток рассеяния трансформатора. Поскольку магнитная проницаемость ферромагнитных материалов зависит от напряженности магнитного поля, создаваемого в нём токами обмоток трансформатора, то в общем случае такой трансформатор является нелинейным устройством, и процессы в нём описываются нелинейным дифференциальным уравнением. К одной из обмоток трансформатора, которая называется первичной обмоткой, подключается источник переменного напряжения или тока. К остальным обмоткам, называемым вторичными обмотками, подключаются нагрузки.

Трансформатор без ферромагнитного сердечника является линейным, и процессы в нём описываются линейны дифференциальным уравнением. Р

Рис. 9.6

ассмотрим линейный трансформатор, который состоит из двух обмоток (рис. 9.6), включённых встречно, к первичной обмотке которого приложено гармоническое напряжение . Это напряжение вызывает в первичной обмотке ток . Часть потокосцепления, обусловленного током , возбуждает во вторичной обмотке трансформатора э.д.с. взаимоиндукции . Если к вторичной обмотке подключенная нагрузка, то под действие э.д.с. в ней пойдет ток . Последний вызывает своё потокосцепление, часть которого возбуждает в первичной обмотке э.д.с. взаимоиндукции .

Тогда уравнения трансформатора, составленные в комплексной форме по второму закону Кирхгофа, будет иметь вид:

где , — индуктивности обмоток трансформатора; и — сопротивления, учитывающие потери энергии в обмотках трансформатора.

Полученные уравнения равносильны следующим:

Если токи и рассматривать как контурные токи контуров, образованных обмотками трансформатора и подключёнными к ним элементами, то в соответствии с уравнениями можно составить эквивалентную схему замещения трансформатора, в которой обмотки трансформатора связаны не индуктивно, а электрически (кондуктивно) (рис. 9.7).

В режим холостого хода, то есть при отсутствии нагрузки, ток вторичной обмотки трансформатора равен нулю . При этом ток первичной обмотки трансформатора будет равен

.

Рис. 9.7

Найденное значение тока называется током намагничивания или током холостого хода, трансформатора.

Если первичная обмотка подключена источнику напряжения, близкому к идеальному, то действующие значения напряжения на обмотках трансформатора практически остаются такими же, какими они были в режиме холостого хода. Возникновение тока вторичной обмотки трансформатора вызывает увеличение тока первичной обмотке, что приводи к увеличению мощности, потребляемой трансформатором от источника напряжения. Изменение тока вторичной обмотки приводит к пропорциональному изменению тока первичной обмотки, а также мощности, потребляемой от источника напряжения.

Определим входное сопротивление трансформатора, вторичная обмотка которого нагружена комплексным сопротивление . Поскольку напряжение на нагрузке , то уравнения трансформатора можно записать в виде:

Решая второе уравнение относительно тока вторичной обмотки

и подставляя найденное выражение в первое уравнение, находим входное сопротивление трансформатора

где — вносимым сопротивление из цепи вторичной обмотки в цепь первичной обмотки.

Трансформатор, у которого ток намагничивания равен нулю, что возможно только при условии , называется идеальным трансформатором, и его уравнения имеют вид:

;

,

где — коэффициент трансформации, равный отношению числа витков обмоток.

Трансформатор, у которого ( ) и, называется повышающим, а трансформатор, у которого ( ) — понижающим.

Поскольку коэффициент трансформации является действительным числом, то напряжение и ток вторичной обмотки идеального трансформатора имеют такие же начальные и мгновенные фазы, как соответствующие напряжения и ток первичной обмотки и отличаются от них только по амплитуде. Коэффициент полезного действия такого трансформатора равен единице.

Если потери мощности непосредственно в трансформаторе достаточно малы, то можно приближенно его рассматривать как идеальный. В этом случае мощности в первичной и вторичной обмотках трансформатора одинаковы и можно считать, что действующие значения токов в обмотках трансформатора приблизительно обратно пропорциональны действующим значениям напряжениям

.

Если к выводам вторичной обмотки идеального трансформатора подключить сопротивление нагрузки , то входное сопротивление идеального трансформатора со стороны первичной обмотки будет равно

.

Отсюда следует, что входное сопротивление идеального трансформатора имеет такой же характер, как и сопротивление нагрузки и отличается от него только по модулю в раз.

Если первичная обмотка подключена источнику напряжения, близкому к идеальному, то действующие значения напряжений на обмотках трансформатора практически остаются неизменными при различных токах этих обмоток. При подключении ко вторичной обмотке трансформатора сопротивления нагрузки в этой обмотке возникает ток, который увеличивается при уменьшении сопротивления нагрузки, приводит к пропорциональному увеличению мощности, потребляемой нагрузкой. При этом ток первичной обмотки трансформатора также увеличивается пропорционально току нагрузки, что приводит к увеличению мощности, потребляемой трансформатором от источника напряжения.

В реальном трансформаторе, в отличие от идеального, имеют место потери энергии, а также запасание энергии в электрическом поле паразитных емкостей. Кроме того, индуктивность обмоток реального трансформатора имеет конечное значение, а потокосцепления рассеяния не равны нулю. Поэтому при разработке конструкции трансформатора принимаются меры, направленные на приближение его свойств к свойствам идеального трансформатора.

Несмотря на то, что реальный трансформатор по своим свойствам отличается от идеального, аналитические выражения, полученные для идеального трансформатора, широко используются при расчете реальных трансформаторов.