Лекция № 9

8.2. Метод узловых напряжений

Метод узловых напряжений основан на определении напряжений узлов цепи относительно некоторого базисного узла. Искомые напряжения узлов называются узловыми напряжениями, используя которые составляются уравнения по первому закону Кирхгофа, называемые узловыми уравнениями. Решая систему узловых уравнений, находят узловые напряжения, и затем рассчитать напряжения и токи ветвей и элементов электрической ветви.

Базисный узел часто называют нулевым узлом, поскольку его потенциал условно может быть принят равным нулю. Тогда напряжение между рассматриваемым узлом и базисным будут равны потенциалу рассматриваемого узла. Поэтому данный метод называют также методом узловых потенциалов. В качестве базисного узла целесообразно выбирать узел, в котором сходится наибольшее число ветвей.

За положительное направление узлового напряжения узла принимают направление от рассматриваемого узла к базисному узлу. Число узловых уравнений определяется числом независимых узлов цепи .

Рассмотрим метод составления узловых уравнений на примере цепи, показанной на рис. 8.3. В качестве базисного выбираем узел, в котором сходится 5 ветвей. Тогда узловое напряжение первого узла равно , второго — и третьего — .

П

Рис. 8.3

оскольку общее число узлов цепи (рис. 8.3) , то для её расчета по методу узловых напряжений необходимо составить узловых уравнения по первому закону Кирхгофа.

Условимся сумму проводимостей ветвей, подключенных к рассматриваемому узлу, называть собственной проводимостью узла, а сумму проводимости ветвей, включенных непосредственно между двумя смежными узлами —взаимной проводимостью между узлами. Для цепи (рис. 8.3) собственная проводимость первого узла равна , второго узла — и третьего узла — . Соответственно взаимная проводимость между первым и вторым узлом равна , между первым и третьим — и между вторым и третьим — .

При составлении узловых уравнений по первому закону Кирхгофа электрический тока, вызываемый в собственной проводимости узла его узловым напряжением, записывается в левой части уравнения со знаком «плюс», а электрический ток, вызываемый во взаимной проводимости узловым напряжением смежного узла, записывается в той же части уравнения, но со знаком «минус».

Если ветвь, подключённая к рассматриваемому узлу, содержит источник тока, то ток этого источника записывается в правой части узлового уравнения со знаком «плюс», если он направлен к узлу, и со знаком «минус», если он направлен от узла. В результате, правая часть узлового уравнения представляет собой алгебраическую сумма токов источников тока, входящих в состав ветвей, подключенных к данному узлу. Такая сумма называется узловым током. Если ветви, подключенные к данному узлу, не содержит источников тока, то узловой ток этого узхла равен нулю.

Для цепи (рис. 8.3) узловой ток первого узла равен , второго — , третьего — .

На основании выше изложенного можно сформулировать следующее правило составления узлового уравнения: левая часть узлового уравнения должна представлять собой сумму произведения узлового напряжения на собственную проводимость узла и произведений узловых напряжений соседних узлов на соответствующие им взаимные проводимости, взятых со знаком «минус», а его правая часть должна представлять собой узловой ток.

Используя указанное правило, составляем систему узловых уравнений электрической цепи (рис. 8.3):

Решая систему уравнения, находят узловые напряжения, и затем рассчитывают напряжения и токи ветвей и элементов цепи. Например, напряжения на проводимостях , и соответственно равны узловым напряжениям , и , напряжение на проводимости равно , на проводимости — и на проводимости — .

Обобщая полученную ранее систему узловых уравнений на случай, когда электрическая цепь имеет независимых узлов, получаем:

Решение системы уравнений относительно k-го узлового напряжения может быть найдено с помощью определителей

,

где

— определитель системы с индексом «Y», который означает, что членами определителя являются комплексные проводимости.

Дальнейшее преобразование k-го узлового напряжения осуществляется согласно правилу разложения определителя по элементам k-го столбца.

Если между двумя какими-либо узлами цепи включен идеальный источник напряжения, то один из таких узлов целесообразно принять за базисный (нулевой) узел. Тогда напряжение другого узла, к которому подключён идеального источника напряжения, будет равно э.д.с. источника, то есть станет известной величиной. В результате, число составляемых уравнений, уменьшается до значения , где — число идеальных источников напряжения, включённых между базисным узлом и другими узлами цепи.

Е

а) б)

Рис. 8.4

сли цепь содержит неидеальные источники напряжения, то перед составлением уравнений рекомендуется преобразовать их в эквивалентные источники тока по известным правилам (см. п. 7.4).

Рассмотрим цепь (рис. 8.4, а), содержащую один идеальный источники напряжения , включенный между узлами 0 и 1. Если узел 0 принять за базисный узел, то узловое напряжение первого узла будет равно , то есть является известной величиной. Ветви, содержащие неидеальные источники напряжения, заменяем эквивалентными источниками тока . И . В результате, получаем эквивалентную схему замещения (8.4, б), для расчёта которой достаточно составить только два узловых уравнения:

Решая систему уравнений, находят узловые напряжения и , и затем рассчитывают напряжения и токи ветвей и элементов цепи.