Тема 6. Анализ простейших электрических цепей при гармоническом воздействии

Проанализируем методом комплексных амплитуд простейшие электрические цепи, составленные путем последовательного и параллельного соединения двух идеализированных пассивных элементов при гармоническом воздействии в виде напряжения

. (6.1)

г

Рис. 6.1

де , и — действующее значение, круговая частота и начальная фаза напряжения.

6.1. Последовательная rl-цепь при гармоническом воздействии

Рассмотрим последовательную RL-цепь (рис. 6.1, а). Заменяя в схеме (рис. 6.1) сопротивление и индуктивность их комплексными схемами замещения и и переходя от вещественных функций тока и напряжения к комплексным действующим значениям и , получаем комплексную схему замещения (рис. 6.1, б).

Тогда на основании закона Ома для участка цепи (4.21) составляем в комплексной форме уравнение электрического равновесия цепи (рис. 6.1, б)

,

где — комплексное сопротивление цепи в алгебраической форме записи.

Преобразуем алгебраическую форму записи комплексного сопротивления RL-цепи в показательную

,

где и — модуль и аргумент комплексного сопротивления цепи.

К

Рис. 6.2

омплексное сопротивление цепи может быть изображено на комплексной плоскости в виде вектора , равного геометрической сумме векторов и (рис. 6.2, а).

При конечных значениях , и аргумент комплексного сопротивления последовательной RL-цепи имеет положительное значение и находится на интервале , что соответствует резистивно-индуктивному характеру сопротивления цепи. При рассмотрении Закона Ома в комплексной форме было показано, что аргумент комплексного сопротивления участка цепи равен фазовому сдвигу фаз между напряжением и током цепи. Откуда следует, что напряжение последовательной RL-цепи опережает по фазе её ток на угол .

Используя закон Ома в комплексной форме, найдем комплексное действующее значение тока цепи

.

где и — модуль и аргумент комплексного действующего значения тока.

Переходя от изображения тока к его оригиналу, получаем

,

где — амплитуда тока.

Таким образом, при известной частоте временная функция тока полностью определяются модулем и аргументом комплексного действующего значения этого тока. Поэтому при расчёте цепи достаточно найти только комплексные амплитуды или комплексные действующие значения токов и напряжений.

Векторная диаграмма комплексных тока и напряжений RL-цепи показана на рис. 6.2, б. Поскольку напряжение на сопротивлении совпадает по фазе с током, то вектор совпадает по направлению с вектором . Так как напряжение на индуктивности опережает по фазе ток на , то вектор повернут относительно вектора на угол против часовой стрелки. В результате, вектор суммарного напряжения повернут относительно вектор тока против часовой стрелки на угол , равный аргументу комплексного сопротивления цепи. Откуда следует, что напряжение опережает по фазе ток на угол . Из рис. 6.2 видно, что «треугольник напряжений», образованный векторами , и (рис. 6.2, б), подобен «треугольнику сопротивлений», образованному векторами , и (рис. 6.2, а).

В прямоугольном «треугольнике напряжений» (рис. 6.2, б) действующие значения напряжений на входе цепи является гипотенузой, которая может быть выражена через катеты, представляющие собой действующие значения напряжений на элементах цепи

.