4.9. Закон Ома в комплексной форме для участка цепи

Составим компонентное уравнение участка электрической цепи (рис. 4.20) к которой приложено гармоническое напряжение. , где и — амплитуда и начальная фаза напряжения

Поскольку цепь представляет собой последовательного соединения идеализированных сопротивления , индуктивности и ёмкости , то напряжение приложенное к цепи равно сумме напряжений на элементах цепи, которая с учётом (2.1), (2.5) и (2.10) представляет собой интегро-дифференциального уравнение

. (4.20)

При гармоническом воздействии ток цепи в установившемся режиме будет также гармонической функцией времени той же частоты,

Рис. 4.20

что и частота напряжения, приложенного к цепи,

,

где и — амплитуда и начальная фаза тока.

В соответствии с методом комплексных амплитуд, заменим в уравнении (4.20) оригиналы напряжения и тока их изображениями в показательной форме записи и

,

где , — комплексные амплитуды напряжения и тока.

Полагая начальной напряжение на ёмкости равным нулю и преобразуя полученное уравнение, находим

.

Сократив общий для всех членов уравнения множитель , получим

.

Тогда

, (4.21)

где — комплексная функция, которая называется комплексным сопротивлением участка цепи.

Видно, что комплексное сопротивление участка цепи, образованного путём последовательного соединении элементов, равно сумме комплексных сопротивлений этих элементов.

Запишем комплексное сопротивление участка цепи в показательной форме

,

где и — модуль и аргумент комплексного сопротивления.

Решая уравнение (4.21) относительно комплексного сопротивления, находим

. (4.22)

Откуда следует, что модуль комплексного сопротивления определяется отношением комплексных амплитуд или действующих значений напряжения и тока цепи

а аргумент — фазовым сдвигом между комплексными или вещественными функциями напряжения и тока цепи

.

Если аргумент комплексного сопротивления равен нулю , то говорят, что сопротивление имеет резистивный (активный) характер. Если аргумент комплексного сопротивления равен , то говорят, что сопротивление имеет индуктивный характер. Если аргумента сопротивления находится на интервале , то говорят, что сопротивление носит резистивно-индуктивный характер.

Величина, обратная комплексному сопротивлению (4.22), называется комплексной проводимостью участка цепи

. (4.23)

где и — модуль и аргумент комплексной проводимости цепи.

Из (4.23) следует, что аргумент комплексной проводимости цепи равен фазовому сдвигу между током и напряжением цепи. Если аргумент комплексной проводимости равен нулю , то говорят, что проводимость имеет активный характер. Если аргумент комплексной проводимости равен , то говорят, что проводимость имеет индуктивный характер. Если аргумент комплексной проводимости находится в интервале , то говорят, что проводимость имеет резистивно-индуктивный характер.

Уравнение (4.21) — (4.23) представляют собой разные формы записи законом Ома в комплексной форме для участка цепи. Аналогичным образом закон Ома в комплексной форме для участка цепи может быть записан для комплексных действующих значений тока и напряжения :

; .