Билет 15

Полная механическая энергия частицы – энергия механического движения и взаимодействия, равная сумме кинетической и потенциальной энергий: E = Ek + Ep.

Док-во:

Приращение Ек или Т равно элементарно работе результирующей F_рез всех сил. В стационарном поле это консервативная сила этого поля F_конс и иные силы F_стор.  F_рез = F_конс + F_стор. Робота этих сил идет на приращение кинетической энергии частицы:

Т.к. работа равна убыли потенциальной энергии А_конс = - ΔU, то подставив это в выражение, после преобразований получим:

Отсюда видно, что работа сторонних сил идет на приращение величины T+U, что и есть полная механическая энергия.

Закон сохранения.

Если тела, составляющие замкнутую механическую систему, взаимодействуют между собой только посредством сил тяготения и упругости, то работа этих сил равна изменению потенциальной энергии тел, взятому с противоположным знаком:

По теореме о кинетической энергии эта работа равна изменению кинетической энергии тел:

Следовательно:

Сумма кинетической и потенциальной энергии тел, составляющих замкнутую систему и взаимодействующих между собой посредством сил тяготения и сил упругости, остается неизменной.

Билет 16

Кинетическая энергия механической системы - это энергия механического движения рассматриваемой системы. Обозначается как Ек или Т.

Теорема о кинетической энергии системы — одна из общих теорем динамики, является следствием законов Ньютона. Связывает кинетическую энергию механической системы с работой сил, действующих на тела, составляющие систему. В качестве системы, о которой идёт речь, может выступать любая механическая система, состоящая из любых тел.

Кинетической энергией системы называют сумму кинетических энергий всех тел, входящих в систему. Для определённой таким образом величины справедливо утверждение:

Изменение кинетической энергии системы равно работе всех внутренних и внешних сил, действующих на тела системы.

Док-во теоремы:

Рассмотрим систему материальных точек с массами m_i, скоростями v_i и кинетическими энергиями Ti=1/2(m_iv_i²). Для малого изменения кинетической энергии (дифференциала), происходящего в течение некоторого малого промежутка времени dt будет выполняться:

Учитывая, что dv_i/dt представляет собой ускорение i-ой точки - a_i, а dv_i/dt— перемещение s_i той же точки за время dt, полученное выражение можно записать в виде:

Используя второй закон Ньютона и обозначая равнодействующую всех сил, действующих на точку, как F_i получаем:

, F_ids_i есть работа А 

Суммирование всех уравнений такого вида, записанных для каждой из материальных точек, приводит к формуле для изменения полной кинетической энергии системы:

Д анное равенство выражает утверждение теоремы об изменении кинетической энергии системы в дифференциальном виде.

Проинтегрировав обе части полученного равенства по произвольно взятому промежутку времени получим выражение теоремы об изменении кинетической энергии в интегральной форме:

г де T₂ и Т₁ — значения кинетической энергии системы в моменты времени t₂ и t₁ cсоответственно.

Необходимо подчеркнуть, что здесь, в отличие от случаев теоремы об изменении количества движения системы и теоремы о движении центра масс системы, учитывается действие не только внешних, но внутренних сил.

Собственная потенциальная энергия системы - механическая энергия системы тел, которая определяется характером сил взаимодействия между телами этой системы и их взаимным расположением.

Рассмотрим систему, между частицами которой действуют лишь центральные силы. Центральные силы – силы, зависящие от расстояния между частицами и направленные по прямой, проходящий через эти частицы (граф. инт. в Вопросе 11).

Покажем, что независимо от системы отсчета работа внутренних сил при переходе системы частиц из одного положения в другое может быть представлена как убыль некоторой ф-и, которая зависит только от расположения частиц в системе , т.е. от конфигурации. Эта ф-я и является собственной потенциальной энергией системы.

Сначала возьмем систему из двух частиц. Работа в К-системе отсчета за время dt будет выглядеть как:

Согласно Третьему закону Ньютона F₂=-F₁, тогда:

Величина в скобках представляет собой перемещение частицы 1 относительно частицы 2. Вспомним принцип относительности Галилея (вопрос 8), тогда частица 1 перемещается в K’ системе, которая жестко связана с частицей два и перемещается вместе с ней относительно исходной системы K.  dr₁ = dr₂+dr’_1, dr1-dr2=dr’1 и:

 Алгебраическая сумма элементарных работ пары сил взаимодействия в произвольной К-системе оказывается равной элементарной работе, которую совершает сила, действующая на одну частицу, в к системе отсчета, где другая покоится.  А_1,2 не зависит от выбранной системы отсчета. F1 действующая на частицу 1 со стороны частицы 2 центральная, а значит консервативная. Поэтому является убылью потенциальной энергии 1 в поле частицы 2 или как:

Р ассмотрим систему из 3-ех частиц. По тому же принципу:

т .к ,то , где U_соб – собственная потенциальная энергия системы. Uсоб будет завесить от конфигурации системы.

Данное утверждение абсолютно для любого числа частиц, поэтому каждой конфигурации системы частиц присуще свое значение Еп_собст и работа всех внутренних центральных сил при изменении конфигурации есть убыль Еп_собст:

А теперь фокус-покус блять. Uсобст не является сумме собственных потенциальных энергий ее частей т.к.

Преобразуем представив каждое слагаемое в виде (Uik = U_ik+U_ki)/2 т.к U_ik=U_ki, тогда:

, а после группировки по индексам

, что есть ничто иное как

, а в общем виде

Классификация сил. По характеру взаимодействия:

Массовые (объёмные) силы обусловлены взаимодействием материальных тел на расстоянии, они приложены к каждой точке тела (распределены по всему его объёму). К массовым силам относятся силы гравитационного и электромагнитного взаимодействия. Обычно из чисто формальных соображений к ним добавляют силы инерции (для сил инерции невозможно указать конкретный материальный источник).

Поверхностные силы приложены к участкам поверхности и являются результатом взаимодействия материальных тел при непосредственном контакте. В зависимости от соотношения площади приложения нагрузки и общей площади поверхности рассматриваемого тела, поверхностные силы подразделяются на сосредоточенные и распределённые. К первым относятся нагрузки, площадь приложения которых несоизмеримо меньше площади поверхности тела. Таковыми являются, например, сила нормального давления P и сила трения T между колесом тележки и подкрановой балки, а также силы взаимодействия балки с опорами.