Вопрос 26

Если колебательная система подвергается воздействию внешней периодически изменяющейся силы, то возникают вынужденные колебания, имеющие незатухающий характер.

Чтобы в реальной колебательной системе получить незатухающие колебания, надо компенсировать потери энергии. Такая компенсация возможна с помощью какого-либо периодически действующего фактора X(t), изменяющего по гармоническому закону. Для механических колебаний это внешняя вынуждающая сила F=F₀ cos wt.

С учетом этого закон движения для пружинного маятника запишется в виде:

Далее через дифференциалы получаем:

X’’+2Bx’-1W02x=f₀coswt - уравнение вынужденных колебаний, где f₀ – амплитуда внешнего воздействия.

Если частота внешней силы приближается к собственной частоте, возникает резкое возрастание амплитуды колебаний. Это явление называется резонансом.

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы называется резонансной кривой.

Резонансная частота подразумевает под собой максимальные колебания, какой либо механической системы, при определенных условиях . , где B= r/2m

, где L — длина от точки подвешивания маятника до центра его масс.

Вопрос 27

Описание поведения реальной жидкости достаточно сложно, поэтому воспользуемся моделью несжимаемой жидкости, лишенной внутреннего трения. Такая жидкость называется идеальной.

Поведение жидкости будем описывать с помощью поля скоростей. Сопоставив каждой точке жидкости характерное для нее значение скорости, получим поле скоростей

Линии, касательные которым во всех точках совпадают с направлением скорости жидкости в этих точках, называются линиями тока (рис. 64).

При установившемся стационарном течении жидкости линии тока не меняются со временем. Линии тока не могут пересекаться между собой. В этом случае линии тока совпадают с траекториями отдельных элементов жидкости. Такое движение называется ламинарным.

При малых скоростях мы наблюдаем ламинарное течение: отдельные слои жидкости скользят друг относительно друга не перемешиваясь.С увеличением скорости характер течения жидкости меняется. Вместо слоистого течения возникают завихрения. Такое течение жидкости называется турбулентным.

Часть жидкости, ограниченная линиями тока, называется трубкой тока

При стационарном течении жидкости ее количество, протекающее в единицу времени через сечение S₁, равно количеству жидкости, протекающему в единицу времени через другое сечение S₂, если плотность жидкости постоянна (рис.66).

Масса жидкости, протекающей через некоторое сечение за время dt равна: 

.Тогда из вышесказанного следует, что: . 

Т.к. плотность постоянна, то это условие принимает вид: 

.

(в лекции вместо плотности использована скорость)

 Это соотношение называют уравнением неразрывности струи.

Вопрос 28

Рассмотрим часть жидкости, заключенной между сечениями S₁ и S₂ выделенной трубки тока, расположенными на высотах h₁ и h₂ (рис. 65). За промежуток времени dt эта часть жидкости смещается вдоль трубки тока и занимает положение между сечениями S’₁ и S’₂. Работа внешних сил, действующих на выделенный элемент жидкости, запишем в следующем виде: . 

Это связано с тем, что силы давления, действующие на боковую поверхность трубки тока, перпендикулярны перемещению жидкости и работы не совершают, а работы сил давления в сечениях S’₁ и S’₂ отличаются знаком. Тогда можем получить: 

, здесь dm – масса жидкости между указанными сечениями.

Изменение энергии рассматриваемой части жидкости равно энергии части жидкости между сечениями S₁ и S₂ минус энергия части жидкости между сечениями S’₁ и S’₂. Кинетическая энергия части жидкости между сечениями  и  определится как: .

Потенциальная энергия определится как: .

Аналогично записывается энергия, заключенная между сечениями  и  . В результате изменение энергии всей выделенной массы жидкости за время dt равно:

.

Работа внешних сил равна изменению механической энергии системы:

н азывается уравнением Бернулли.

Для каждого вида течения существует критическое число Рейнольдса, Re_крR e κ ρ , которое, как принято считать, определяет переход от ламинарного течения к турбулентному. При Re< Re_кр R e < R e κ ρ течение происходит в ламинарном режиме, при Re > Re кр R e > R e κ ρ возможно возникновение турбулентности. Критическое значение числа Рейнольдса зависит от конкретного вида течения (течение в круглой трубе, обтекание шара и т. п.), различными возмущениями потока, такими как изменение направленности и модуля вектора скорости потока, шероховатость стенок, близость местных сопротивлений и др.

Истечение жидкости из отверстия. Выделим в жидкости трубку тока, имеющую своим сечением с одной стороны открытую поверхность жидкости в сосуде, а с другой стороны — отверстие, через которое жидкость вытекает.

Уравнение Бернули в данном случае будет иметь вид: где v — скорость истечения из отверстия. Сократив на ρ и введя h=h1-h2 — высоту открытой поверхности жидкости над отверстием, получим: ϑ²/2=gh, откуда Эта формула называется формулой Торричелли.

Итак, скорость истечения жидкости из отверстия, расположенного на глубине h под открытой поверхностью, совпадает со скоростью, которую приобретает любое тело, падая с высоты h (жидкость идеальна). Для реальных жидкостей скорость истечения будет меньше, причем тем сильнее отличается от значения формулы Торричелли, чем больше вязкость жидкости.

Струя жидкости, вытекающая из отверстия в сосуде, уносит с собой за время Δt импульс ΔK=ρSϑVΔt (ρ — плотность жидкости, S — площадь отверстия, v — скорость истечения струи). Этот импульс сообщается вытекающей жидкости сосудом. По третьему закону Ньютона сосуд получает от вытекающей жидкости за время Δt импульс, равный -ΔK, т. е. испытывает действие силы

Эта сила называется реакцией вытекающей струи.

Если сосуд поставить на тележку, то под действием силы F, он придет в движение в направлении, противоположном направлению струи.

Найдем значение силы _Fr воспользовавшись выражением для скорости истечения жидкости из отверстия:

Возникающее при вытекании струи движение жидкости в сосуде приводит к перераспределению давления, причем давление вблизи стенки, лежащей против отверстия, оказывается несколько большим, чем вблизи стенки, в которой сделано отверстие.