Вопрос 24

Найдем результат сложения двух гармонических колебаний одинаковой частоты ω, которые происходят во взаимно перпендикулярных направлениях вдоль осей х и у. Начальная фаза первого колебания равна нулю

где α — разность фаз обоих колебаний, А и В -амплитуды складываемых колебаний. Исключаем из формул t. Запишем складываемые колебания как:

и

Заменим на и на , найдем уравнение эллипса:

Размеры осей эллипса и его ориентация зависят от амплитуд складываемых колебаний и разности фаз α.

Если частоты складываемых взаимно перпендикулярных колебаний имеют различные значения, то замкнутая траектория результирующего колебания довольно сложна. Замкнутые траектории, прочерчиваемые точкой, которая совершает одновременно два взаимно перпендикулярных колебания, называются фигурами Лиссажу. Вид этих замкнутых кривых зависит от соотношения амплитуд, разности фаз и частот складываемых колебаний.

Вопрос 25

Затухающие колебания - колебания с постоянно убывающей со временем амплитудой. (из-за потерь энергии в реальной колебательной системе).

Сила сопротивления где r - коэффициент сопротивления среды. Знак минус показывает, что F_C направлена в сторону противоположную скорости. Запишем уравнение колебаний в точке, колеблющийся в среде. По второму закону Ньютона

где β - коэффициент затухания. Этот коэффициент характеризует скорость затухания колебаний. При наличии сил сопротивления энергия колеблющейся системы будет постепенно убывать, колебания будут затухать.

x''+βx’+ω₀²x=0 - дифференциальное уравнение затухающих колебаний.

 - уравнение затухающих колебаний (решение).

ω – частота затухающих колебаний: Период затухающих колебаний:

Коэффициента затухания недостаточна для характеристики затуханий колебаний. Поэтому необходимо ввести такую характеристику для затухания колебаний, в которую входит время одного колебаний. Такой характеристикой является декремент (по-русски: уменьшение) затухания D, который равен отношению амплитуд, отстоящих по времени на период

Логарифмический декремент затухания равен логарифму D:

Логарифмический декремент затухания обратно пропорционален числу колебаний, в результате которых амплитуда колебаний умень­шилась в е раз.

Е ще одной характеристикой колебательной система является добротность Q.

Добротность Q колебательной системы называется число, показывающее во сколько раз сила упругости больше силы сопротивления.

Чем больше добротность, тем медленнее происходит затухание, тем затухающие колебания ближе к свободным гармоническим.

При приближении коэффициента затухания к W₀ период колебаний становится = +∞ и колебания становятся апериодическими. Выведенная из положения равновесия система возвращается в положение равновесия, не совершая колебаний, запас энергии тела к моменту его возвращения полностью расходуется на преодоление трения.

При приближении коэффициента затухания к собственной частоте W0 период колебаний становится = +∞ и колебания становятся апериодическими.