Вопрос 21

Гармонические колебания - колебания, при которых смещение колеблющейся точки от положения равновесия изменяется с течением времени по закону синуса или косинуса.

Уравнение и его решение:

Допустим, что в колебательной системе действует только гармоническая сила –kx, F=ma, a=dx²dt², тогда в дифференциальном виде ур-е будет выглядеть следующим образом:

Разделив на m, и обозначим k/m=w² получим:

Решением этого ур-я, буду выражения виды:

где A - амплитуда колебаний, t - время, φ - фаза колебаний, w - угловая частота колебаний, w = 2pf = 2p /T, f - частота колебаний, T - период колебаний.

Пружинный маятник - механическая система, состоящая из пружины с коэффициентом упругости k, один конец которой жёстко закреплён, а на втором находится груз массы m.

Если грузик смещён из нулевого положения (в котором пружина не деформирована) на расстояние x, то на грузик со стороны пружины будет действовать сила -kx. На грузик действует сила тяжести mg. Согласно второму закону Ньютона, сумма всех сил, приложенных к грузику, равна ma, где a - ускорение. Дифференциальное уравнение для пружинного маятника будет иметь следующий вид:

m d²x/dt² = -kx + mg, где g - ускорение свободного падения в гравитационном поле, d²x/dt² - вторая производная координаты x по времени t. Это уравнение имеет следующее решение:

г де , Амплитуда колебаний A и фаза колебаний φ зависят от

начальных условий (в момент времени t=0): начального смещение грузика x₀ и начальной скорости v₀. В состоянии равновесия пружина растянута на величину mg/k.

Амплитуда колебания(А) - есть максимальное за период отклонение колеблющейся величины от среднего за период значения.Частота(ν) (– число колебаний, совершаемый за ед.времени. Фаза(φ) – показывает смещение, сдвиг. Период колебаний(Т) - это наименьший промежуток времени, через который система, соверша­ющая колебания, снова возвращается в то же состояние, в котором она находилась в начальный момент времени, выбранный произвольно.

Вопрос 22

Энергия гармонических колебаний

Кинетическая энергия тела, совершающего гармонические колебания:

Потенциальная энергия тела, совершающего гармонические колебания (под действием квазиупругой силы):

Учитывая, что

можно записать:

Полная энергия гармонических колебаний равна сумме кинетической энергии и потенциальной энергии:

При свободных колебаниях колебательная система получает энергию только в начальный момент времени, а далее энергия системы, а с ней и амплитуда колебаний не меняются. При движении тела кинетическая и потенциальная энергия переходят друг в друга. Когда отклонение системы от положения равновесия максимально, потенциальная энергия максимальна, а кинетическая равна нулю. При прохождении положения равновесия потенциальная энергия достигает минимума, а кинетическая энергия (а с ней и скорость, импульс тела) максимальна.

Вопрос 23

Представление гармонического колебания с помощью векторной диаграммы

В ыберем ось Х. Из точки О, взятой на этой оси, отложим вектор длины х₀, образующий с осью угол α. Если привести этот вектор во вращение с угловой скоростью w₀, то проекция конца вектора на ось Х будет меняться со временем по закону  . Следовательно, проекция конца вектора на ось будет совершать гармонические колебания с амплитудой, равной длине вектора; с круговой частотой, равной угловой скорости вращения, и с начальной фазой, равной углу, образованному вектором с осью X в начальный момент времени.

Сложение гармонических колебаний одного направления

Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний одинакового направления и одинаковой частоты, которые имеют следующий вид:

.

Представим оба колебания с помощью векторов х₀₁ и х₀₁. Построим по правилу сложения векторов результирующий вектор х₀.

Легко увидеть, что проекция этого вектора на ось Х равна сумме проекций слагаемых векторов х=х₁+х₂. Следовательно, вектор х₀ представляет собой результирующее колебание. Этот вектор вращается с той же угловой скоростью w₀, что и векторы х₁ и х_2, так что результирующее движение будет гармоническим колебанием с частотой w₀, амплитудой x₀ и начальной фазой α. По теореме косинусов квадрат амплитуды результирующего колебания будет равен

.

Из рис. 7.5 видно, что начальная фаза результирующего колебания будет равна

Итак, представление гармонических колебаний посредством векторов дает возможность свести сложение нескольких колебаний к операции сложения векторов. Формулы можно, получить, сложив выражения для x₁  x₂ аналитически, но метод векторной диаграммы отличается большей простотой и наглядностью.