2.3. Последовательное соединение элементов в систему

Соединение элементов называется последовательным, если отказ, хотя бы одного элемента приводит к отказу всей системы. Система последовательно соединенных элементов работоспособна тогда, когда работоспособны все ее элементы.

Вероятность безотказной работы системы за время t определяется формулой

(23)

где Р_i(t) - вероятность безотказной работы i-го элемента за время t.

Если Р_i(t) =Р(t) то, т.е. все элементы системы равнонадёжны

(24)

Выразим Р_с(t) через интенсивность отказов λ_i(t) элементов системы, получим:

(25)

или

, (26)

где

Здесь λ_i(t) – интенсивность отказов i-го элемента; λ_с(t) – интенсивность отказов системы.

Вероятность отказа системы на интервале времени (0, t) равна

(27)

Частота отказов системы f_c(t) определяется соотношением

(28)

Интенсивность отказов системы

(29)

Среднее время безотказной работы системы:

(30)

В случае экспоненциального закона надежности всех элементов системы имеем

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

(37)

где Т_срi – среднее время безотказной работы i-го элемента.

При расчете надежности систем часто приходится перемножать вероятности безотказной работы отдельных элементов расчета, возводить их в степень, и извлекать корни. При значениях Р(t), близких к единице, эти вычисления можно с достаточной для практики точностью выполнять по следующим приближенным формулам:

(38)

где р_i (t) – вероятность отказа i-го элемента.

Задача 6.

Изделие состоит из N групп узлов. Отказы узлов первой группы подчинены экспоненциальному закону с интенсивностью отказов , отказы узлов второй группы – закону Релея с параметром , отказы узлов третьей группы – экспоненциальному закону с интенсивностью отказов . Требуется определить вероятность безотказной работы изделия в течение времени t. Исходные данные для расчета приведены в табл. 6.

Таблица 6

Варианты	Исходные данные
	N	·10-4, 1/час	, час	· 10-4, 1/час	t, час
0	3	1	2000	0,93	500
1	2	–	4000	1,8	1000
2	2	3,2	–	2,6	500
3	2	0,93	3000	–	2000
4	3	0,6	4000	3,2	2400
5	3	0,6	4000	2,8	1800
6	2	0,93	–	1,8	800
7	2	–	2000	0,93	700
8	3	1	3000	0,6	600
9	3	3,2	4000	0,93	1700

Задача. 7.

Система состоит из N различных невосстанавливаемых блоков, при этом она имеет основное соединение блоков, т.е. отказ любого из блоков приводит к отказу системы. Для блоков справедлив экспоненциальный закон надежности. Средняя наработка до первого отказа для разных блоков различна и равна Т_i часов.

Требуется найти вероятность безотказной работы системы в течение t часов. Найти также интенсивность отказов для системы и среднюю наработку до первого отказа системы. Исходные данные приведены в табл. 7.

Таблица 7

вариант	N	Т1	Т2	Т3	Т4	Т5	Т6	Т7	Т8	t
1	5	2000	1850	1600	1750	1650	-	-	-	1000
2	7	7500	8000	4000	5000	6000	8700	10000	-	2000
3	6	1000	1800	1200	1400	1600	1500	-	-	800
4	3	1500	7500	5000	-	-	-	-	-	1500
5	4	3500	4200	5200	4500	-	-	-	-	2500
6	8	4000	2500	3000	5000	4000	3500	4500	3000	1500
7	5	2000	3000	4000	5000	3000	-	-	-	1000
8	3	5000	6000	7000	-	-	-	-	-	3000
9	4	1800	2500	1500	2200	-	-	-	-	1500
0	6	3200	4000	2000	4500	5000	3000	-	-	2000