Специальные подклассы сетей Петри

Автоматные сети.Дляавтоматных сетейвводится ограничение на функциии:, т.е. все переходы имеют одну входную дугу и одну выходную дугу. Если в начальной маркировкеесть единственная фишка в некоторой позиции, то такие сети с-раскрашиванием переходов ничем принципиально не отличаются от так называемых графов переходов (позиции сети представляют состояния графа переходов), рассматриваемых в теории конечных автоматов. Как следствие, языки таких сетей Петри являются регулярными. При наличии большего числа фишек в начальной маркировкеязык этой сети является «смесью» языков сетей Петри с тем же графом и с начальными маркировками, такими, что. Напомним, что «смесь» двух формальных языковив алфавитеопределяется так:

;

если и, то

.

Очевидно, что автоматные сети являются ограниченными, т.к. количество фишек в автоматных сетях не меняется в результате срабатывания любого перехода. Из этого, в частности, следует, что смесь регулярных языков представляет собой тоже регулярный язык.

На рис. 11 приведен пример автоматной сети.

Маркированные графы.Если для некоторой сети Петри выполняется условие:

то эта сеть называется маркированным графом.

Цикломв маркированном графе называется «кольцо» переходов, такое, что. Известны следующие результаты:

1. Общее число фишек в позициях, связывающих переходы в цикле, не меняется в результате срабатываний любых переходов.

2. Переходы в маркированном графе являются живыми, если для каждого его цикла в начальной маркировке есть хотя бы одна фишка в позициях, связывающих переходы этого цикла.

3. Маркированный граф является безопасной сетью, если для каждого его цикла в начальной маркировке есть ровно одна фишка в позициях, связывающих переходы этого цикла.

Маркированные графы, как и автоматные сети, представляют собой ограниченные сети Петри. Как известно, для таких сетей все задачи их анализа являются разрешимыми. Однако, ценой этого является существенная ограниченность возможностей при моделировании сложных систем.

На рис. 12 приведен пример маркированного графа.

Расширения и обобщения формализма сетей Петри

Обратной стороной простоты и изящества применения формализма сетей Петри при описании относительно простых параллельных систем являются недостатки, проявляющиеся при моделировании более сложных систем. Во-первых, существенным ограничивающим фактором является семантическая монотонность обычных сетей Петри. Во-вторых, абстрактное понимание ресурсов как ничем не отличающихся «фишек» приводит к быстрому росту сложности графа сети при моделировании систем, требующих дифференциации ресурсов. Эти и другие прак тические недостатки базового формализма привели к многочисленным предложениям по его обобщению, модификации и расширению. Рас смотрим некоторые наиболее известные из этих предложений.

Сети Петри с раскрашенными фишками. Пусть - не пустое множество «цветов» фишек. Для сети Петри с раскрашенными фишками сохранены определения графа сети и функции раскрашивания переходов для задания языков сети. Отличие состоит в определении понятия начальной маркировки сети. Предполагается, что всякая маркировка сети определена как комплект упорядоченных пар позиций и цветов фишек, соответственно, т.е. . Эквивалентным, но более удобным является понимание маркировки как функции , сопоставляющей каждой позиции сети комплект цветов из , неформально рассматриваемый как комплект раскрашенных фишек в этой позиции. Пусть обозначает количество элементов множества в комплекте : . Каждому переходу сети Петри с раскрашенными фишками сопоставим некоторую функцию , или, в общем случае, бинарное отношение . Функция , опредленная ранее для обычных сетей Петри, для сетей с раскрашенными фишками обобщается до уровня отношения следующим образом:

.

Заметим, что для всякой пары комплектов раскра-шенных фишек, , , есть вариантов их разбиения на подкомлекты из заданных количеств раскрашенных фишек: , если идля всех.

Другими словами можно сказать, что значением для пары - комплекта позиций сети и комплекта цветов фишек - является число всевозможных комплектов пар комплектов позиций и цветов фишек, таких, что и .

Если множество цветов фишек конечно, то поведение любой сети с раскрашенными фишками может быть промоделировано обычной сетью, в которой каждой позиции исходной сети будет соответствовать подмножество позиций , а каждому переходу - множество переходов, определяемое как отношением , так и возможными разложениями комплектов раскрашенных входных фишек перехода на подкомплекты, соответствующие отдельным позициям. Как правило, в этом случае, при использовании раскрашенных фишек хотя и не появляется принципиально новых возможностей, сложность модели-рующей сети оказывается существенно меньшей.

Известны и другие варианты определния сетей Петри с раскрашенными фишками.

Сети Петри с переключателями. Вводится новый вид переходов - «переключателей», графически изображаемых так, как показано на рис. 13. Такой переход имеет комплект обычных входных позиций и комплект управляющих входных позиций, а также два комплекта основных и, соответственно, дополнительных выходных позиций. Условие срабатывания такого перехода для маркировки есть условие срабатывания для «обычных» входных позиций. Если в управляющих позициях есть необходимые фишки, то срабатывание перехода приводит, как и для обычных сетей, к удалению фишек из всех входных позиций, а новые фишки появляются только в основных выходных позициях. В противном случае, т.е. если в управляющих позициях нет необходимого числа фишек, фишки удаляются только из обычных входных позиций, а новые фишки появляются только в дополнительных выходных позициях.

Иными словами, в общем случае в такой сети заданы не две функции , а четыре:, задающие для каждого перехода комплекты обычных входных позиций, управляющих входных позиций и два комплекта выходных позиций, основных и дополнительных[. Условие срабатывания перехода при маркировкеесть, а значение функции переходов при выполнении этого условия есть

В случае, если для некоторого - пустой комплект (в этом случае комплектне влияет на поведение сети, и его тоже можно считать пустым), то- обычный переход, иначе- переключатель (в некоторых работах без потери принципиальных возможностей полагают, что для переключателей).

Для сетей с переключателями свойство семантической монотонности в общем случае уже не имеет места.

Сети Петри с ингибиторными дугами. В таких сетях некоторые входные дуги переходов (элементы комплектов входных позиций переходов) могут быть отмечены как «ингибиторные» (сдерживающие). Графически такие дуги изображаются так, как показано на рис. 14. Фактически это означает, что для переходов в сети задана дополнительно функция . Условие срабатывания переходапри маркировкеформулируется так:, а значение функции переходов в сети будет иметь, как и обычно, значение . Очевидно, что для того, чтобы переходвообще смог бы сработать хотя бы при одной маркировке, необходимо, чтобы выполнялось условие, т.е. позиции, связанные с переходомингибиторными дугами, не должны быть его обычными входными позициями.

Для сетей с ингибиторными дугами свойство семантической монотонности, как и для сетей с переключателями, в общем случае также не имеет места.

Сети Петри с приоритетами. В таких сетях дополнительно определяется отношение приоритетности переходов . Условиями срабатывания переходапри маркировкеявляются обычное требованиеи дополнительное требование - для этой маркировки условие срабатывания не должно быть выполнено для любого более приоритетного перехода, т.е. такого что.

Значение функциидля удовлетворяющих условию срабатывания переходов в сети определяется обычным образом.

Для сетей с приоритетами свойство семантической монотонности в общем случае также не имеет места, так как сети с переключателями и сети с ингибиторными дугами довольно просто моделируются сетями с приоритетами. На рис. 15 и 16 показано, как осуществляется такое моделирование.

Сети Петри с переходами«исключающее или». Наряду с обычными переходами, готовность к срабатываниям для которых по отношению к входным дугам реализует дисциплину «и», в сети могут использоваться переходы, реализующие дисциплину «исключающее или »: переход может сработать, если только в одной из входных позиций есть фишки, а в остальных - фишек нет. Если для некоторой позиции , то переход может сработать при некоторой маркировке , если , а если , то - только если . Если , то как и для обычных переходов значение не влияет на возможность срабатывания перехода . Графическое изображение таких переходов должно каким-то образом отличаться от графического изображения обычных переходов (например, оно может быть таким, как изображено на рис. 17).

Все варианты расширений понятия сети Петри, в которых условие срабатывания переходов связано с отсутствием фишек в некоторых позициях, оказываются равносильными и настолько расширяющими возможности формализма сетей Петри, что с использованием любого из этих вариантов расширения можно моделировать универсальные уточнения понятия алгоритма и вычислимой функции (машины Тьюринга, регистровые машины, алгорифмы Маркова и т.д.). С другой стороны, это приводит и к неразрешимости большинства из теоретических проблем для расширенных систем, которые являются полуразрешимыми и даже разрешимыми для более слабых систем. Для примера покажем, как сети Петри с ингибиторными дугами могут моделировать произвольные регистровые машины.

Напомним, что регистровые машины задаются в форме специальным образом интерпретированной стандартной схемы программы с двумя унарными функциональными символами ,и одним унарным предикатным символом, причем операторы присваивания могут иметь один из двух видов: или , где- имя одной из конечного числа ячеек памяти («регистров»). Один или несколько, что не принципиально, регистров объявлены как входные (их начальные значения - исходные данные), а один или несколько, возможно других, регистров объявлены как выходные (их заключительные значения - результаты работы машины). Интерпретациятакова: область интерпретации- множествонатуральных чисел, = , =, =. Известно, что для любой частично-рекурсивной функции можно построить вычисляющую ее значения регистровую машину.

Пусть задана конкретная регистровая машина. Построим сеть Петри с ингибиторными дугами по следующим правилам:

1. множество позиций , где- подмножество позиций, сопоставленных регистрам машины, а- подмножество позиций, сопоставленных вершинам управляющего графа схемы программы;

2. начальная маркировка такова:- исходные данные, где- позиции, сопоставленные входным регистрам;, где- позиция, сопоставленная начальному блоку управляющего графа схемы программы, а для всех остальных позиций,,;

3. построение переходов сети иллюстрирует рис. 18. На нем показана трансляция начального и заключительного блока, блоков присваивания и блоков ветвления программы.

Очевидно, что для определенной таким образом сети Петри либо

• существует единственная история срабатываний переходов, приводящая сеть к тупиковой маркировке , для которой , где- позиция, сопоставленная заключительному блоку управляющего графа схемы программы, а для всех остальных позиций,,. - результаты работы регистровой машины, где - позиции, сопоставленные выходным регистрам, либо

• существует единственная, потенциально не ограниченная история срабатываний переходов, не приводящая сеть к тупиковой маркировке. В этом случае результаты работы регистровой машины не определены.

30