27 Обыкновенные дифференциальные уравнения
обыкнове́нные дифференциа́льные уравне́ния (ОДУ) — это дифференциальные уравнения для функции от одной переменной. (Этим оно отличается от уравнения в частных производных, где неизвестная — это функция нескольких переменных.)
Многие задачи естествознания после соответствующих упрощений сводятся к решению уравнений, содержащих функции одного или нескольких аргументов, сами эти аргументы и производные различных порядков от искомых функций. Такие уравнения называются дифференциальными.
Дифференциальное уравнение, полученное в результате исследования какого-либо реального процесса или явления, называют дифференциальной моделью этого явления или процесса.
В зависимости от того, ставятся ли дополнительные условия в одной или нескольких точках отрезка изменения независимой переменной, задачи решения ОДУ обычно подразделяют на одноточечные (задачи с начальными условиями или задачи Коши) и многоточечные. Среди многоточечных задач наиболее часто на практике встречаются так называемые граничные задачи, когда дополнительные условия ставятся на концах рассматриваемого отрезка. Мы будем рассматривать модели, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями (ОДУ). В них неизвестные функции зависят только от одной переменной.
Методы решения ОДУ
В классическом анализе разработано немало приемов нахождения решений дифференциальных уравнений через элементарные функции. Между тем при решении практических задач эти методы оказываются, как правило, либо совсем бесполезными, либо их решение связано с недопустимыми затратами усилий и времени. Для решения прикладных задач созданы методы приближенного решения дифференциальных уравнений, которые условно можно подразделить на три основные группы:
1. Аналитические методы, применение которых даст решение ОДУ в виде аналитической функции (метод Пикара);
2. Графические методы, дающие приближенное решение в виде графика (метод Эйлера);
3. Численные методы, когда искомая функция получается в виде таблицы (метод Рунге-Кутта).
Классификация
Ур с разделяющимися переменными
Однородные
Приводимые к однородным
В полных дифференциалах
Линейные
Ур Бернулли
Ур Риккати
29 Методы математической статистики
Математи́ческая стати́стика — наука, разрабатывающая математические методы систематизации и использования статистических данных для научных и практических выводов.
Выделяют описательную статистику, теорию оценивания и теорию проверки статистических гипотез.
Описательная статистика есть совокупность эмпирических методов, используемых для визуализации и интерпретации данных (расчет выборочных характеристик, таблицы, диаграммы, графики и т. д.), как правило, не требующих предположений о вероятностной природе данных.
Теория оценивания — раздел математической статистики, решающий задачи оценивания непосредственно не наблюдаемых параметров сигналов или объектов наблюдения на основе наблюдаемых данных. Для решения задач оценивания применяется параметрический и непараметрический подход. Параметрический подход используется, когда известна математическая модель исследуемого объекта и характер возмущений и требуется лишь определить в ней неизвестные параметры. В этом случае используются метод наименьших квадратов, метод максимального правдоподобия и метод моментов. Непараметрический подход используется для изучения объектов неизвестной структуры и с неизвестными возмущениями.
Проверка статистических гипотез
Статистическая гипотеза — предположение о виде распределения и свойствах случайной величины, которое можно подтвердить или опровергнуть применением статистических методов к данным выборки.
Различают нулевую и альтернативную гипотезы. Нулевая гипотеза – гипотеза, подлежащая проверке. Альтернативная гипотеза – каждая допустимая гипотеза, отличная от нулевой.
Задачи
систематизировать полученный статистический материал;
2) на основании полученных экспериментальных данных оценить интересующие нас числовые характеристики наблюдаемой случайной величины;
3) определить число опытов, достаточное для получения достоверных результатов при минимальных ошибках измерения.
Одной из задач третьего типа является задача проверки правдоподобия гипотез.
32
Система поддержки принятия решений
СППР предназначены для оказания помощи руководителю по использ. данных знаний и моделей при подготовке и принятии реш., за кот. руководитель несет ответственность.
В наст. время СППР – автоматиз-ная сист., использующая модели выработки и принятие реш., обеспеч-щая пользователей эф-ным доступом к распределенным БД и представл-я различные способы отображения информации. СППР делятся на два класса: 1. EIS (Executive Information System) – для руководства, высшего уровня. 2. DSS (Decision Support System) – для руководства среднего уровня.
Цель разработки и внедрения СППР - информационная поддержка оперативных возможностей и комфортных условий для высшего руководства и ведущих специалистов для принятия обоснованных решений, а также стратегическим и тактическим целям. Основой такой системы явл:
• доставка стат. данных и информации аналитического и сводного хар-ра как из внутр-х, так и из внешних источников для эк. и фин. оценок, сопоставление планов, разработка моделей и составление прогнозов в бизнесе;
• формирование и эксплуатация во взаимодействии с руководством соответствующей системы информационных, финансовых, математических и эвристических моделей эк-х и фин-х пр-сов.
Экспертная система (ЭС) – компьютерная система, использующая знания эксперта для высокоэффективного решения задач в проблемной области, для которой традиционные формальные методы решения неизвестны или неприменимы вследствие имеющихся ограничений.
Отличительной чертой данного класса систем является использование для решения задач знаний опытного эксперта.
Клаассы задач, в которых используются ЭС:
интерпретация – составление смыслового описания ситуации по наблюдаемым данным – распознавание образов, понимание речи и т. п. (SPE - определение концентрации гамма-глобулина в крови);
медицинская и техническая диагностика – определение причин неисправностей по результатам наблюдений (MYCIN - диагностика бактериальных инфекций);
прогнозирование – определение вероятных последствий наблюдаемых ситуаций – предсказание погоды, урожая, курса валют и т.п. (PLANT/cd - определения потерь урожая от черной совки);
планирование – определение последовательности действий, приводящих к желаемой цели – планирование действий робота, маршрута движения (TATR - планирование авиаударов по аэродромам противника);
управление – целенаправленное воздействие на объект (применяется в задачах, где традиционные модели автоматического управления неприменимы или неэффективны: управление деловой активностью, боем, воздушным движением и т.п.);
мониторинг – сравнение результатов наблюдений с ожидаемыми или желаемыми (медицинский и экологический мониторинг, атомные электростанции);
обучение – диагностика, формирование и коррекция знания и навыков обучаемого GUIDON - обучение студентов-медиков (антибактериальная терапия);.
отладка - составление рецептов исправления неправильного функционирования системы. ONCOCIN - планирование химиотерапевтического лечения;
ремонт - выполнение последовательности предписанных исправлений. TQMSTUNE - настройка масс-спектрометра.
проектирование - построение конфигурации объектов при заданных ограничениях. XCON (R1) - выбор оптимальной конфигурации аппаратных средств (VAX).
Методы максимизации (минимизации) функций одной переменной.
МАКСИМИЗАЦИЯ И МИНИМИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ
конечного числа переменных - задача поиска экстремума функции 
под этой задачей понимается:
1) нахождение 
2) отыскание точек максимума или минимума, если 
достигаются на допустимом множестве (см. Максимум и минимум функции).
3) построение максимизирующей последовательности {xi} или мини м и з и р у roll; ей последовательности {хi} таких, что
если 
недостижимы на X.
Исследованием экстремумов функций дискретных аргументов занимается дискретное программирование ицелочисленное программирование. Ниже освещены только методы М. и м. ф. непрерывных аргументов.