2. Асимметрия распределения и эксцесс

Выяснение общего характера распределения предполагает оценку степени его однородности, а так же вычисление показателей асимметрии и эксцесса. Симметричным является распределение, в котором частоты любых двух вариантов, равноотстоящих в обе стороны от центра распределения, равны между собой. Для симметричных распределений средняя арифметическая, мода, медиана совпадают (т. е. равны). В связи с этим простейший показатель асимметрии основан на соотношении показателей центра распределения: чем больше разница между средними ( ), тем больше асимметрия ряда. При этом, если ( ) > 0 – асимметрия правосторонняя (правая часть кривой длиннее). А если ( ) < 0 – асимметрия левосторонняя (левая часть кривой длиннее).

Для сравнительного анализа степени асимметрии нескольких распределений рассчитывают относительный показатель асимметрии :

Величина может быть положительной и отрицательной.

f f

(х-м_о) > 0 (x-м_e) < 0

A_s > 0 A_s < 0

м_о < м_e < м_о > м_e >

x x

правосторонняя асимметрия левосторонняя асимметрия

Для симметричных распределений рассчитывается показатель эксцесса (островершинности). Наиболее точным является показатель, основанный на использовании центрального момента четвертого порядка:

f f

f Ex > 0 Ex < 0

2

1

1

3

x x

1. Нормальное распределение

2. Островершинное распределение

3. Плосковершинное распределение

Эксцесс представляет собой выпад вершины эмпирического распределения вверх или вниз от вершины кривой нормального распределения. В нормальном распределении Е_х = 0.

Оценка показателей асимметрии и эксцесса позволяет сделать вывод о том, можно ли отнести данное эмпирическое распределение к типу кривых нормального распределения.

3. Нормальное распределение

Если распределение описывается кривой

,

где t – нормированное отклонение, равное ,

то такое распределение называется нормальным. Нормальное распределение графически представляется в виде симметричной колоколообразной кривой. Нормальная кривая является идеализированной формой распределения, однако многие распределения приблизительно соответствуют нормальным.

Таким образом, для построения нормальной кривой надо знать два параметра: и .

Е сли не меняется, но растет величина , распределение носит более плосковершинный характер.

f

₃ ₁ < ₂ < ₃

– const

₂

₁

x

Если не меняется , а увеличивается , в этом случае кривая, не меняя своей формы, сдвигается вправо вдоль оси абсцисс:

f =const < <

точка перегиба

x

Особенности кривой нормального распределения:

1. Кривая симметрична относительно максимальной ординаты. Максимальная ордината соответствует значению = М_о = М_е, ее величина равна .

2. Кривая асимптотически приближается к оси абсцисс, продолжаясь в обе стороны до бесконечности. Следовательно, чем больше значения отклоняются от , тем реже они встречаются.

3. Кривая имеет две точки перегиба, находящиеся на расстоянии от (см. рис. выше)

4. В промежутке находится 68,3% всех значений признака. В промежутке находится 95,4% всех значений признака. В промежутке находится 99,7% всех значений признака.

Нормальное распределение возможно в том случае, когда на величину признака влияет большое число случайных причин. Действие этих причин независимо, и ни одна из них не имеет преобладающего влияния над другими. Для удобства вычислений величину t, зависящую от и , табулируют (таблица значений функции f(t)).

10