Тема 4. Средние величины.

План.

1. Сущность и значение средней величины. 1

2. Степенные средние величины. 3

2.1 Средняя арифметическая. 3

Понятие средней арифметической: простая и взвешенная 3

Средняя арифметическая в интервальном ряду. 4

Важнейшие свойства средней арифметической Дополнить! 5

Расчет средней способом моментов нужен ли этот вопрос? 6

2.2 Другие виды степенных средних. 7

Средняя квадратическая величина 7

Средняя кубическая величина 8

Средняя геометрическая величина 8

Средняя гармоническая 9

2.3 Понятие степенной средней. Правило мажорантности. 11

Таблица - Виды средних степенных величин 11

3. Структурные средние величины. 13

3.1 Мода. 13

3.2 Медиана. 15

3.3 Графическое изображение структурных средних величин. 16

4. Средняя хронологическая. 16

ПРИЛОЖЕНИЕ Таблица - Виды средних степенных величин 18

ПРИЛОЖЕНИЕ Таблица - Виды средних степенных величин 19

1. Сущность и значение средней величины.

Изучая общественные явления и стремясь выявить их характерные, типичные черты в конкретных условиях места и времени, статистики широко используют средние величины. С помощью средних можно сравнивать между собой и различные совокупности по варьирующим признакам. Трудно без исчисления средних сказать, в какой области выше урожайность сельскохозяйственных культур или на каком предприятии ниже себестоимость производства какого-либо одинакового продукта. Средняя – это один из распространенных приемов обобщения.

Важность средних величин отмечалась и в работах многих ученых. Так, английский экономист Уильям В.Петти (1623-1667г.г.) при рассмотрении экономических проблем широко использовал средние величины. В частности он предлагал использовать в качестве меры стоимости затраты на среднее дневное пропитание одного взрослого работника. Его не смущала абстрактность средних, то, что данные, относящиеся к отдельным конкретным людям, могут не совпадать со средней величиной. Он считал устойчивость средней величины как отражение закономерности изучаемых явлений.

Теоретические разработки бельгийского статистика Адольфа Кетле (1796-1874 г.г.) внесли значительный вклад в разработки теории устойчивости статистических показателей. Он выделял средние величины в качестве основного приема статистического анализа и подчеркивал, что статистические средние представляют собой не просто меру математического измерения, а категорию объективной действительности. Типическую, реально существующую среднюю он отождествлял с истинной величиной, отклонения от которой могут быть только случайными.

У Кетле были последователи – немецкий статистик и экономист Лексис (1837-1914 г.г.), принесший теорию «истинных величин» на экономические явления общественной жизни. Его теория известна под названием «Теория устойчивости». Другая разновидность идеалистической теории средних основана английским статистом А. Боули (1869-1957 г.г.). Он рассматривает средние величины лишь с количественной стороны, тем самым отрывает количество от качества. Боули писал, что функция (то есть значение) средних ясна: она заключается в том, чтобы выражать сложную группу при помощи немногих простых чисел. Ум не в состоянии сразу охватить величины миллионов статистических данных, они должны быть сгруппированы, упрощены, приведены к средним.

В 30-е и последующие годы средняя величина все чаще стала рассматриваться как социально значимая характеристика, информативность которой зависит от однородности данных.

Правильное понимание сущности средней определяет ее особую значимость в экономике, когда средняя через единичное и случайное позволяет выявить общее и необходимое, выявить тенденцию закономерностей экономического развития.

Таким образом, средней величиной в статистике называется обобщающий показатель совокупности однотипных явлений по какому-либо варьирующему признаку, который показывает уровень признака, отнесенный к единице совокупности.

Средняя величина всегда именованная, она имеет ту же размерность что и признак у отдельных единиц совокупности.

Средняя всегда обобщает количественную вариацию признака, то есть в средних величинах погашаются индивидуальные различия единиц совокупности, обусловленные случайными обстоятельствами. В отличие от средней абсолютная величина, характеризующая уровень признака отдельной единицы совокупности, не позволяет сравнить значения признака у единиц, относящихся к разным совокупностям.

Например, если нужно сопоставить уровни оплаты труда работников на двух предприятиях, то нельзя сравнивать по данному признаку двух работников разных предприятий.

Если же сравнивать размеры фондов оплаты труда на рассматриваемых предприятиях, то не учитывается численность работающих и, следовательно, нельзя определить, где уровень оплаты труда выше.

В конечном итоге сравнить можно лишь средние показатели, т.е. сколько в среднем получает один работник на каждом предприятии. Таким образом, возникает необходимость расчета средней величины как обобщающей характеристики совокупности.

Однако статистическая средняя будет объективна и типична, если она рассчитывается по массовым данным для качественно однородной совокупности (для массовых явлений).

Например, если средний доход определять путем сложения заработной платы директора предприятия (пусть 10000 руб.) и зарплаты вахтера этого предприятия (200 руб.), то он составит 5100 рублей, что не является действительным.

Поэтому важно, чтобы средние характеристики были основаны на массовом обобщении фактов. В массе явлений случайные отклонения индивидуальных величин в общей тенденции взаимно погашаются в средней величине. Поэтому средняя выявляет общую тенденцию, присущую данной массе, типичный для нее размер варьирующего признака. В этом проявляется действие закона больших чисел, т.е.: Количественные закономерности, присущие общественным явлениям, отчетливо проявляются лишь в достаточно большом количестве наблюдений.

В практике статистической обработки материала возникают различные задачи, имеются особенности изучаемых явлений, и поэтому для их решения требуются различные средние. Вопрос о том, какой вид средней необходимо применять в отдельном случае, разрешается путем конкретного анализа изучаемой совокупности, определяется материальным содержанием изучаемого явления.

В экономических исследованиях и плановых расчетах применяются две категории средних:

• степенные (аналитические, порядковые) средние (арифметическая, гармоническая, геометрическая, квадратическая);

• структурные (позиционные) средние (мода и медиана) – применяются для изучения структуры рядов распределения.