7.2. Сильно неравновесные системы

Состояние равновесных и слабо неравновесных систем однозначно

определяется принципами экстремумов: максимума энтропии или минимума

производства энтропии. Для сильно неравновесных систем общего экстре-

мального принципа нет: такие системы развиваются непредсказуемо, при

одних и тех же начальных условиях сильно неравновесная система может

переходить к разным состояниям.

Изменение во времени (кинетика) неравновесных систем описывается

дифференциальными уравнениями общего вида:

F(x t) dt

dx = ,χ, (7.15)

где х(t) − набор переменных параметров, характеризующих систему (напри-

мер, концентрации веществ); χ − набор так называемых управляющих пара-

метров, которые зависят от условий эксперимента (например, скорость

потока или разность температур).

115

Если следить за поведением системы не непрерывно, а через некоторые

промежутки времени, то дифференциальное уравнение (7.15) можно заме-

нить эквивалентным разностным уравнением: ( ,χ) n 1 n x = F x + , (7.16)

где функция х(t) берется только в определенные моменты времени:

xn = x(tn).

Все многообразие динамических явлений в системах, описываемых

уравнениями (7.15) и (7.16), определяется видом функции F. Самые необыч-

ные и нетривиальные явления происходят там, где функция F нелинейна, а

число переменных _ больше одной. Такие системы способны проявлять

качественно разные типы поведения: от строго регулярного, периодического

и предсказуемого до полностью хаотического. Переход от одного типа

поведения к другому происходит при изменении управляющих параметров

или начальных условий. Такое поведение характерно для сильно неравновес-

ных систем, где большую роль играет нелинейная зависимость потоков от

сил.

Простейшим примером, демонстрирующим зависимость поведения

нелинейной системы от управляющих параметров, служит логистическое

выражение вида:

⎟⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛

+ = −

n n n x rx 1 x 1 , (7.17)

Рис. 7.1. Предельные значения логистического выражения (7.17)

при различных значениях управляющего параметра r

которое описывает динамику биологической популяции в замкнутой среде.

Здесь хn _ численность популяции за п_ й год наблюдения (обычно значе-

ния хn = 0 _ 1, т.е используется нормирование на единичный интервал),

116

r _ параметр, зависящий от условий жизни. В зависимости от значения r,

возможны различные сценарии поведения системы (рис. 7.1).

1. При r < 1 популяция исчезает: хк = 0.

2. При 1 < r < 3 численность популяции стремится к единственному

предельному значению х∞ = 1 – 1/r∞ , которое устойчиво.

3. При 3 < r < (r∞ = 3,5699456...) предельного значения нет: числен-

ность популяции, независимо от начального значения х0, колеблется между

несколькими значениями, число которых равно 2к, k = 1,2, ... ∞ в зависи-

мости от r. Такой режим называют периодическим.

4. При r∞ < r < 4 поведение системы становится полностью хаотиче-

ским и непредсказуемым. При увеличении п численность популяции может

принимать любые значения в интервале от 0 до 1, а набор (xn) имеет свойства

случайной последовательности чисел.

Таким образом, при изменении параметра r, который определяет роль

нелинейных эффектов, состояние системы изменяется от равновесного до

хаотического:

Во многих случаях состояния, к которым стремятся неравновесные

системы, имеют высоко упорядоченную пространственно-временную

структуру. Процесс образования таких состояний называют самоорганиза-

цией.

Многочисленные исследования в области нелинейной динамики

показали, что:

Самоорганизация возможна в нелинейных, сильно неравновесных

системах в определенном диапазоне изменения управляющих парамет-

ров.

Рассмотрим в качестве примера слой жидкости, находящийся между

двумя горизонтальными плоскостями. Когда температуры верхней и нижней

границ равны, система находится в состоянии теплового равновесия, а жид-

кость является совершенно однородной. Вывести жидкость из состояния

равновесия можно путем небольшого подогрева нижнего слоя.

При постоянном подводе теплоты, в системе установится стационарное

состояние, в котором теплота будет переноситься от нижнего слоя к верхне-

му, а свойства жидкости (температура и плотность) будут линейно изме-

117

няться от теплой области к холодной. Такое явление называют теплопровод-

ностью. Оно описывается уравнениями линейной неравновесной термоди-

намики.

При увеличении разности температур между нижним и верхним слоя-

ми наблюдается новое явление: при ΔТ, превышающем некоторое критичес-

кое значение ΔТк, жидкость структурируется в виде небольших ячеек – так

называемых ячеек Бенара (рис. 7.2. а). Жидкость в этих ячейках находится в

движении – такой режим называют тепловой конвекцией, причем в соседних

ячейках направление вращения потоков жидкости противоположно

(рис. 7.2. б).

Рис. 7.2. Ячейки Бенара (а) и движение жидкости

в ячейках Бенара (б)

Образование ячеек Бенара – пример самоорганизации в сильно нерав-

новесной системе.

Рис. 7.3. Влияние управляющего параметра χ

на стационарное свойство x системы

Для явлений самоорганизации характерны два основных свойства: