3. Анализ процессов в открытых системах: сопла,

диффузоры, эжекторы и компрессоры

3.1. Сопла и диффузоры

Практический интерес представляет изучение процесса течения газа в

коротких каналах, называемых насадками или соплами. Обычно течение

газа в соплах, связанное с изменением его параметров, происходит настолько

быстро, что теплообмен между газом и стенками сопла практически отсут-

ствует. Это обстоятельство дает основание считать процесс истечения газа из

30

насадок (сопл) адиабатным. Кроме того, в насадках отсутствует техническая

работа.

Канал, в котором с уменьшением давления скорость газового потока

возрастает, называется соплом и канал, в котором скорость газа уменьшает-

ся, а давление растет, называется диффузором.

3.1.1. Скорость и массовый расход газа в соплах

Скорость газового потока w (м/с) в сечении сопла и диффузора можно

определить из уравнения (2.45) при условии, что q = 0 (адиабата):

2 2

2

1

2

2 w w

− = _ Δh, (3.1)

где w1 – скорость на входе сопла, а w2 – скорость на выходе из сопла.

Примем, что размеры поперечного сечения на входе в сопл велики в

сравнении с выходом сопла, поэтому w1 ≈ 0. Тогда получим:

( ) 2 1 2 w = 2 h − h . (3.2)

Для адиабатного процесса имеем:

h1 – h2 = (u1 – u2) + (p1v1 – p2v2) = (1/γ – 1) (p1v1 – p2v2) + (p1v1 – p2v2)=

= ( γ/γ – 1) (p1v1 – p2v2) и, с учетом уравнения адиабаты, также получим:

γ

1

1

γ 2

1

2

1

1

2

−

⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎝

⎛

⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎝

⎛

= = p

p

p

p

v

v

. (а)

После подстановки в (3.2) выражения (а), окончательно имеем:

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡ −

⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎝

⎛

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎡ −

⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎝

⎛

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎝

⎛

−

⎟ ⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝

⎛

⎟⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛

− = − −

−

=

− ⋅ =

−

− =

−

=

γ

γ 1

1

2

1 1

γ

γ 1

1

2

1 1

γ

1

1

2

1

2

2 1 1 2 2 1 1

γ 1

1 2γ γ 1

2γ

γ 1 1

2γ

γ 1

2γ

p

p

p RT

p

p v

p

p

p

p

w p v p v p v

. (3.3)

Массовый секундный расход газа m (кг/с) из уравнения неразрывности

потока газа, с учетом формул (3.13) и (а), получим в виде:

m = f2w2 / v2 = f2

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡ +

⎟ ⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝

⎛

− −

γ

γ 1

γ

2 2

1

2

2

1 1 β β γ 1

2γ

v

v

v

p v = f2

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡ +

−

−

γ

γ 1

γ

2

1

1 β β γ 1

2γ

v

p ,

(3.4)

31

где f2 – сечение сопла на выходе газа; β = p2 / p1 – отношение давлений

газа на входе и выходе из сопла.

На рис. 3.1построена кривая зависимости m = f (β) по уравнению (3.4),

которая имеет вид параболы (0 ≤ β ≤ 1).

Однако экспериментальные данные дают

хорошее согласие только с одним участком

кривой (АК) _ для βкр ≤ β ≤ 1, а в диа-

пазоне 0 ≤ β ≤ βкр расход,

соответствующий βкр , не снижается, а

остается неизменным (КС), равным mкр,

т.е. максимальным. Причем, как бы ни

понижалось давление окружающей среды

р2, давление на выходе из сопла остается

постоянным и соответствующим ркр. Для

того чтобы отыскать максимум

зависимости (3.4), первую производную от выражения в квадратных скобках

приравняем нулю:

γ β 0

β γ 1 γ

2

β β β

1

γ

γ 1

кр

1

γ

2

кр

γ

γ 1

кр

γ

2

кр − = − + =

−

+

⎟⎠

⎞

⎜⎝

− ⎛

⎟⎠

⎞

⎜⎝

⎛

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡ +

d

d ,

откуда

1

γ

γ 1

кр

1

γ

2

кр γ β

β γ 1 γ

2 −

+

⎟⎠

⎞

⎜⎝

− ⎛

⎟⎠

⎞

⎜⎝

⎛ = + и γ

γ 1

кр

γ

2 γ

γ

1

кр γ 1 β β

2

− −

−

+ = = .

Окончательно имеем: γ 1

γ

1

кр

кр γ 1

β 2 −

⎟ ⎟ ⎠

⎞

⎜ ⎜

⎝

⎛

= = + p

p

. (3.5)

Из формулы (3.5) следует, что отношение критического давления на

выходе из сопла к давлению на входе является постоянной величиной для

каждого газа и зависит только от природы газа через показатель адиабаты. В

случае одноатомных газов: γ= 1,67 и βкр = 0,49, для двухатомных: γ = 1,4;

βкр = 0,528 и для трехатомных: γ = 1,3; βкр = 0,546. Поэтому приближенно

можно принять βкр ≈ 0,5.

Скорость газа на выходе из сопла в зависимости от β меняется анало-

гично изменению расхода m. Для значения βкр найдем критическую ско-

рость по уравнению (3.3):

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡ −

⎟⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡ −

⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎝

⎛

= − − = − − γ

γ 1

1 1

γ

γ 1

1

2

кр 1 1 γ 1 1 βкр

1 2γ γ 1

2γ p v p

p

w p v .

32

С учетом (3.15), имеем:

1 1 1

1 1

γ

γ-1

γ-1

γ

кр 1 1

γ 1

2γ

γ 1

2γ

γ 1

1 2 γ 1

2γ

γ 1

1 2 γ 1

2γ

p v RT

w p v p v

+

=

+

=

=

+

−

−

=

+

−

−

=

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎝

⎛

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡ ⋅

⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎝

⎛

(3.6)

Для того чтобы выразить wкр через выходные параметры потока, подста-

вим в уравнение адиабаты

γ

γ 1

1

кр

1

кр

−

⎟ ⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝

⎛

= p

p

T

T

значение βкр из формулы (3.5)

и получим γ 1

2

γ 1

β 2 γ

γ-1

γ-1

γ

γ

γ 1

кр

1

кр

= + = +

⋅

⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎝

⎛

=

−

⎟⎠

⎞

⎜⎝

⎛

T

T

, следовательно

2

γ 1

1 кр

T =T + ,

отсюда кр кр кр кр w = γRT = γp v = азв , (3.7)

где азв – известное из курса общей физики значение местной скорости

звука в данной среде. Из формулы (3.7) следует, что wкр и азв растут с

увеличением критических термодинамических параметров и показателя

адиабаты.

Можно также заключить, что критическими параметрами рабочего

тела при течении его в канале называются термодинамические пара-

метры в том сечении его, где скорость потока равна местной скорости

звука.

Сужение сопла ведет к росту скорости и при f min = f кр скорость

достигнет своего предельного значения _ скорости звука.

Из первого закона термодинамики для потока, с учетом уравнений

неразрывности и адиабатного процесса, после ряда преобразований можно

получить уравнение, связывающее изменение скорости на выходе из сопла в

зависимости от изменения его сечения:

p

dp

w

а w

f

df ⋅

−

=

2

2 2

зв

γ

. (3.8)

В случае сопла (dp < 0), анализ уравнения (3.8) показывает, что при

условии: 2 2

зв а −w > 0, (w < азв _ дозвуковое течение газа) производная

33

f

df < 0, следовательно, сужение канала сопла ведет к росту скорости потока,

а расширение _ к ее уменьшению. Но при условии 2 2

зв а −w < 0, т.е. при

сверхзвуковой скорости потока f

df > 0, следовательно, расширение канала

сопла приведет к дальнейшему росту скорости потока.

Таким образом, чтобы получить скорость на выходе из сопла выше

скорости звука, сопло должно состоять из участка сужения до f кр = f min,

где будет достигнута скорость звука, а далее за ним должен быть расширяю-

щейся участок сопла.

Впервые профиль такого сопла был предложен Лавалем.

Характер изменения параметров газа по длине сопла Лаваля дан на рис. 3.2.

Отношение максимальной скорости на выходе из сопла Лаваля к

критической скорости определяется формулой:

γ 1

γ 1

кр

2max

−

= + w

w

. (3.9)

Для двухатомного газа при γ = 1,4, отношение равно 2,45.