Тема 4. Оптимизация алгоритма поиска

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

Метод Шеннона-Фано

Исходное множество состояний объекта с заданным распределением их вероятностей разбивается на два подмножества и так, чтобы вероятности попадания в них были максимально близки (равны по 0,5). Затем каждое из полученных подмножеств и отдельно разбивается на два подмножества , и , соответственно, так, чтобы апостериорные вероятности нахождения в них реасобытия были бы максимально близки (равны по 0,5). Разбиение заканчивается, когда все подмножества будут иметь только по одному элементу.

В качестве примера рассмотрим множество из состояний с вероятностями, приведенными в табл. 4.1.

Таблица 4.1

	1	2	3	4	5
	0,4	0,3	0,04	0,06	0,2

Множество можно разбить на два подмножества и с вероятностями нахождение в них реасобытия, равными 0,5. Апостериорные (после первого двоичного измерения) вероятности состояний в множестве в соответствии с формулой Байеса приведены в таблице 4.2.

Таблица 4.2

	1	3	4
	0,8	0,08	0,12

34

Апостериорные вероятности состояний во втором множестве приведены в табл. 4.3.

Таблица 4.3

	2	5
	0,6	0,4

Множество можно разбить на два подмножества и . В результате полуxим дерево поиска, показанное на рис. 4.1, соответствующее значение потенциальной скрытности равно

.

Рис. 4.1

Метод Циммермана – Хаффмена

Дерево поиска строится следующим образом.

В множестве состояний объекта ( - арсенал состояний) выбираются два наименее вероятных. Они объединяются в эквивалентное событие с вероятностью, равной сумме вероятностей входящих в него событий. В новом множестве из элементов вновь выбираются два наиме-

35

нее вероятных и далее процедура повторяется. Она заканчивается, когда в итоговом множестве остается два эквивалентных состояния. Дерево поиска строится в обратном порядке.

В качестве примера вновь рассмотрим множество из состояний с вероятностями, приведенными в табл. 4.1.

Минимальные вероятности имеют состояния с номерами 3 и 4. Объединяя их в одно эквивалентное событие, получим новое множество состояний с вероятностями, приведенными в табл. 4.4.

Таблица 4.4

	1	2	3,4	5
	0,4	0,3	0,1	0,2

Вновь выбирая и объединяя два состояния с минимальными вероятностями, получим множество состояний с вероятностями из табл. 4.5. Еще раз повторяя процедуру, получим множество эквивалентных состояний из табл. 4.6.

Полученные результаты позволяют построить дерево поиска, показанное на рис. 4.2.

Таблица 4.5

	1	2	3,4,5
	0,4	0,3	0,3

Таблица 4.6

	1	2,3,4,5
	0,4	0,6

Для оптимального дерева поиска значение потенциальной скрытности равно

.

36

Рис. 4.2

Как видно, методы Шеннона-Фано и Циммермана – Хаффмена приводят к различным алгоритмам поиска, однако соответствующие им значения потенциальной скрытности приближенно равны и погрешность будет уменьшаться с ростом арсенала состояний объекта.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Сформулируйте алгоритм оптимизации Шеннона-Фано.

2. Приведите простейший пример использования метода Шеннона-Фано.

3. Опишите алгоритм Циммермана-Хаффмена.

4. Приведите пример применения метода Циммермана-Хаффмена.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ

Задание 4.1. Методом Циммермана-Хаффмена постройте оптимальный алгоритм поиска при равномерном распределении вероятностей , , . Определите скрытность состояний объекта.

37

Задание 4.2. Методом Шеннона-Фано постройте оптимальный алгоритм поиска при равномерном распределении вероятностей , , . Определите скрытность состояний объекта, сравните результаты.

Задание 4.3. Для распределения вероятностей указанного в табл. 4.7 вида постройте оптимальный алгоритм поиска методом Циммермана-Хаффмена. Определите скрытность состояний объекта.

Таблица 4.7

0,4

0,3

0,2

0,05

0,05

Задание 4.4. Для распределения вероятностей указанного в табл. 4.7 вида постройте оптимальный алгоритм поиска методом Шеннона-Фано. Определите скрытность состояний объекта, сравните результаты.

Задание 4.5. При каких параметрах и экспоненциального распределения вероятностей

, .

оптимальным будет алгоритм последовательного поиска (воспользуйтесь методом Циммермана-Хаффмена).

Задание 4.6. Вероятности реализации состояний объекта определяются выражением

, .

Определите значение арсенала . Постройте оптимальный алгоритм поиска методом Шеннона-Фано, определите величину скрытности.

Задание 4.7. Выполните задание 4.6 методом Циммермана- Хаффмена.

38

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

4.1. При каких параметрах и экспоненциального распределения вероятностей

, .

оптимальным будет алгоритм дихотомического поиска, определите необходимые для этого условия.