В.П. Литвиненко

ОСНОВЫ ТЕОРИИ СКРЫТНОСТИ:

ПРАКТИКУМ

Учебное пособие

Воронеж 2010

ГОУВПО «Воронежский государственный

технический университет»

В.П. Литвиненко

ОСНОВЫ ТЕОРИИ СКРЫТНОСТИ:

ПРАКТИКУМ

Утверждено Редакционно-издательским советом

университета в качестве учебного пособия

Воронеж 2010

УДК 621.372

Литвиненко В.П. Основы теории скрытности: практикум: учеб. пособие / В.П. Литвиненко. Воронеж: ГОУВПО «Воронежский государственный технический университет», 2010. 106 с.

Учебное пособие предназначено для использования в ходе практических занятий и самостоятельной работы студентов по дисциплине «Основы теории скрытности». Рассматриваются методы и примеры расчета скрытности и других характеристик состояния объекта. Приводятся примеры расчетов характеристик объектов, необходимых при выполнении лабораторных работ.

Предлагаются задания для самостоятельной работы студентов, в том числе и с применением современных средств вычислительной техники.

Издание соответствует требованиям Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлениям 210300 «Радиотехника», специальности 210302 «Радиотехника», дисциплине «Основы теории скрытности». Предназначено студентам очной формы обучения.

Табл. 19. Ил. 46. Библиогр.: 1 назв.

Научный редактор канд. техн. наук, доц. Б.В. Матвеев

Рецензенты: кафедра радиотехники и антенно-фидерных

устройств Военного авиационного инженерно-

го университета (нач. кафедры

канд. техн. наук, доц. В.П. Дунец);

канд. техн. наук, доц. Н.Т. Хакимов

 Литвиненко В.П., 2010

 Оформление. ГОУВПО «Воронежский

государственный технический университет», 2010

Посвящается памяти основателя кафедры радиотехники и дисциплины «Основы теории скрытности» профессора Каневского Зиновия Моисеевича

Введение

Дисциплина «Основы теории скрытности» [1] введена решением Совета ВГТУ в рамках специализации «Защита информации в каналах связи общего и специального назначения» по направлению 210300 «Радиотехника» специальности 210302 «Радиотехника».

Целью практикума является изучение и освоение методов оценки скрытности состояний различных объектов, в том числе радиосигналов и систем радиосвязи, расчета характеристик алгоритмов поиска и их оптимизации.

В пособии приводится краткий теоретический материал и примеры расчета, необходимые для выполнения заданий в ходе практических и лабораторных занятий, а также для самостоятельной работы студентов, контрольные вопросы по соответствующим темам.

Материал рассчитан на использование в ходе практических и лабораторных занятий и при самостоятельной работе студентов.

При выполнении заданий рекомендуется широкое использование современных средств вычислительной техники и программных пакетов.

Приводятся задания для индивидуальной самостоятельной работы повышенной сложности, даются примеры программ моделирования сигналов и помех в системе MathCAD.

3

Тема 1. Элементы теории вероятностей

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

Пусть задано множество возможных состояний объекта (событий) , , где - арсенал (число элементов) множества, и вероятности возникновения реасостояния (фактически реализовавшегося состояния объекта) . Каждая из вероятностей удовлетворяет условию

. (1.1)

Если все состояния множества образуют полную группу, то

, (1.2)

а в противном случае

(1.3)

и имеются еще какие-то не учтенные состояния.

Для двух статистически взаимосвязанных событий и их совместная вероятность равна

, (1.4)

где и - безусловные вероятности событий, - условная вероятность события при известном значении события , - условная вероятность события при известном значении события .

4

Из (1.4) можно записать формулу Байеса

. (1.5)

Поиск состояния объекта производится посредством двоичных измерений. В ходе каждого двоичного измерения множество возможных состояний объекта разбивается на два подмножества и принимается решение о наличии реасобытия в одном из них. В задачах поиска событие можно рассматривать как состояние объекта со значениями , а событие - как решение о принадлежности реасостояния к одному из двух проверяемых подмножеств, полученное в результате проведения двоичного измерения (если , то реасостояние принадлежит подмножеству , а если - то ). Тогда формулу Байеса (1.5) можно записать в виде

, (1.6)

где - апостериорная (после проведения двоичного измерения с решением или ) вероятность состояния , - априорная (до проведения двоичного измерения) вероятность состояния , - условная вероятность принятия решения ( или ), если реасостоянием (реасобытием) является , - безусловная вероятность принятия решения ( или ).

Алгоритм поиска представляет собой последовательность двоичных измерений для всех возможных вариантов реасобытия. Его удобно отображать деревом поиска, в котором

5

верхний (корневой) узел соответствует исходному множеству состояний объекта, а нижние узлы – проверяемым подмножествам (рис. 1.1). Исходящие из каждого узла две ветви отображают двоичные измерения с решениями о принадлежности реасобытия одному их двух альтернативных проверяемых подмножеств состояний объекта.

Рисунок 1.1

В ходе первого двоичного измерения множество разбивается на два подмножества и . Если реасобытие обнаружено в подмножестве , то в ходе второго измерения оно разбивается на два подмножества, в каждом из которых имеется по одному событию и соответственно. Аналогично, если при первом измерении выбирается подмножество , то в ходе второго измерения оно разбивается на подмножество с элементами , и второе подмножество с единственным элементом .

Рассмотрим пример безошибочного последовательного поиска приятеля в одной из четырех комнат (арсенал множества состояний ), как показано на рис. 1.2а (приятель фактически находится в третьей комнате, реасостояние ). Имеет место равновероятное (рис. 1.2б) нахождение приятеля

6

в каждой из комнат, , . Дерево поиска показано на рис. 1.2в.

Рисунок 1.2

Рассмотрим апостериорные распределения вероятностей состояний после первого измерения.

В результате первого измерения (проверки первой комнаты) может быть принято решение о наличии приятеля ( ) или его отсутствии ( ). При из (1.6) получим

. (1.7)

Априорные вероятности нахождения приятеля в -й комнате . Условная вероятность принятия решения о наличии приятеля в первой комнате при его фактическом присутствии в этой комнате равна 1, а при его присутствии в другой комнате она равна 0,

7

(1.8)

Безусловная вероятность принятия решения о наличии приятеля в первой комнате при отсутствии ошибок равна априорной вероятности его нахождения в первой комнате,

. (1.9)

В результате из (1.7) получим значения апостериорных вероятностей нахождения приятеля в различных комнатах в виде

(1.10)

Если принято решение об отсутствии приятеля в первой комнате ( ), то

, (1.11)

где , условная вероятность принятия решения об отсутствии приятеля в первой комнате при его фактическом присутствии в этой комнате равна 0, а при его присутствии в другой комнате она равна 1,

(1.12)

а безусловная вероятность принятия безошибочного решения об отсутствии приятеля в первой комнате равна

8

. (1.13)

Тогда из (1.11) значения апостериорных вероятностей нахождения приятеля в различных комнатах равны

(1.14)

Распределения апостериорных вероятностей (1.10) и (1.14) показаны на рис. 1.3.

Рисунок 1.3

Рассмотрим апостериорные вероятности нахождения приятеля в комнатах после второго измерения (проверки второй комнаты). Оно будет производиться только если в первой комнате приятель не обнаружен. Тогда априорным распределением вероятностей для второго измерения является апостериорное распределение вероятностей вида (1.14).

В результате второго измерения возможны два решения: или (приятель соответственно обнаружен или не обнаружен во второй комнате). Расчет апостериорных распределений вероятностей проводится по формуле Байеса.

Согласно (1.6) для решения получим

9

, (1.15)

где

(1.16)

. (1.17)

В результате получим (проведите расчет самостоятельно)

(1.18)

Это распределение вероятностей показано на рис. 1.4а.

Если принято решение , то из (1.6)

, (1.19)

(1.20)

, (1.21)

вероятности определяется (1.14), то апостериорное распределение вероятностей имеет вид

(1.22)

10

Полученное апостериорное распределение вероятностей показано на рис. 1.4б.

Рис. 1.4

В ходе третьего измерения (если оно проводится) проверяется наличие реасобытия в подмножествах, каждое из которых содержит по одному элементу ( или ). При этом апостериорные вероятности после третьего двоичного измерения при (реасобытием является ) равны

(1.23)

а при (реасобытием является ) соответственно

(1.24)

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Как определяется вероятность события?

2. Что представляют собой совместная, условная

и апостериорная вероятности событий?

11

3. Каковы свойства распределений вероятностей? Каким условиям удовлетворяют значения вероятностей полной группы событий?

4. Опишите смысл дерева поиска, его узлов и ветвей. Как определяются вероятности попадания реасобытия в соответствующие подмножества при отсутствии ошибок измерения?

5. В чем смысл формулы Байеса, как ее применить для расчета апостериорных вероятностей?

ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ

Задание 1.1. Являются ли распределениями вероятностей указанные ниже наборы чисел.

0,4	0,3	0,2	0,05	0,05
0,4	0,3	0,2	0,1	0,1

Задание 1.2. Постройте график заданного ниже распределения вероятностей.

0,4

0,3

0,2

0,05

0,05

Задание 1.3. Каким ограничениям удовлетворяют параметры и распределения вероятностей

. ,

постройте примеры графиков при различных значениях параметров.

Задание 1.4. С какой вероятностью будет принято решение о том, что реасобытием является , если арсенал равновероятных событий равен .

12

Задание 1.5. Определите вероятность попадания реасобытия в подмножество для предыдущей задачи 1.4.

Задание 1.6. Известно, что частота настройки радиостанции выбирается случайно и равновероятно из восьми рабочих частот , ,…, . Затем проводится безошибочная проверка с помощью фильтра (приемника) наличия сигнала в группе частот , , , .

Какие при этом возникают решения?

Определите апостериорное распределение вероятностей рабочих частот после этой проверки при различных решениях на выходе фильтра.

Вычислите апостериорное распределение вероятностей после второго измерения с проверкой наличия сигнала на частотах , , если в ходе первого измерения сигнал обнаружен на частотах , , , .

Задание 1.7. Решите задачу 1.6 при экспоненциальном распределении вероятностей вида

,

Задание 1.8. Выполните задание 1.6 при условии, что решение на выходе фильтра принимается с вероятностью ошибки .

Задание 1.9. В системе радиосвязи в множестве из восьми частот , ,…, одновременно на разных равновероятно выбираемых частотах работают два передатчика. С какой вероятностью будут заняты частоты и ? Какова вероятность того, что будут заняты любые две соседние частоты?

13

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

1.1. В математике и различных областях техники широко используется биномиальное распределение вероятностей вида

, . (1.25)

где - биномиальный коэффициент, равный

.

Постройте графики распределения вероятностей для и при различных значениях параметра , и . Определите среднее значение номера .

1.2. Рабочие частоты радиостанции выбираются в соответствии с биномиальным распределением вероятностей (1.25) при и . В ходе первого безошибочного двоичного измерения выявлен сигнал на одной из четырех частот , , , . Определите апостериорное распределение вероятностей рабочих частот.

1.3. Определите апостериорное распределение вероятностей в предыдущем задании, если результат двоичного измерения может быть ошибочным с вероятностью .

14