3.2.3. Теорії масового обслуговування

Приклад

► На оптову базу прибувають машини з товаром. Інтенсивність потоку λ = 2,8 машин за годину. На базі одночасно може очікувати в черзі не більше т = 5 машин. Середній термін розвантаження однієї машини t = 0,9. Є п бригад вантажників. Знайти ймовірність простою вантажників та абсолютну пропускну спроможність бази.

Розв'язування.

Ймовірність простою знаходимо за формулою:

Ймовірність відмови в обслуговуванні:

Ймовірність, що обслуговування буде здійснено Р_обс.=1‑0.0905=0,9095. Абсолютна пропускна спроможність

3.2.4. Метод аналізу та управління ризиком в економіці

Приклад

► Досліджується питання про запровадження нової виробничої лінії, що використовує новітню технологію. Якщо лінія працюватиме безвідмовно, підприємство отримає прибуток 200 тис. грн. Якщо ж вона відмовить, підприємство може втратити 150 тис. грн. За оцінками існує 60% шансів, що нова виробнича лінія відмовить. Можна зробити експериментальну установку, а вже потім вирішувати, монтувати чи ні виробничу лінію. Експеримент коштуватиме 10 тис. грн. Існує 50% шансів, що експериментальна установка буде працювати. Якщо експериментальна установка працюватиме, то 90% шансів за те, що змонтована виробнича лінія також буде працювати. Якщо ж експериментальна установка не працюватиме, то тільки 20% шансів за те, що виробнича лінія запрацює. Чи варто будувати експериментальну установку? Чи варто монтувати виробничу лінію? Якою є очікувана вартісна цінність найкращого рішення?

Розв'язування.

Побудуємо «дерево» розв'язків. Це графічне зображення процесу прийняття рішень, у якому відображено альтернативні рішення, стани середовища, відповідні ймовірності та виграші для будь-яких комбінацій альтернатив і станів середовища. Малюють «дерева» зліва направо. Місця, де приймають рішення, позначають квадратами □ ,місця появи наслідків - кругами о , можливі рішення – пунктирними лініями - - - - , можливі наслідки позначають суцільними лініями ‑‑‑.

Для кожної альтернативи рахуємо очікувану вартісну оцінку (EMV) - максимальну з сум оцінок виграшів, помножених на ймовірність реалізації виграшів, для всіх можливих варіантів.

У вузлі F можливі наслідки «лінія працює» з імовірністю 0,4 (що приносить прибуток 200) і «лінія не працює» з імовірністю 0,6 (що приносить збитки -150) ⇒ оцінка вузла F:

Це число пишемо над вузлом F.

У вузлі 4 ми вибираємо між рішенням «монтуємо лінію» (оцінка цього рішення і «не монтуємо лінію» (оцінка цього рішення

Цю оцінку пишемо над вузлом 4, а рішення «монтуємо лінію» відкидаємо і закреслюємо. Аналогічно:

Тобто, очікувана вартість найкращого рішення 72,5 тис. грн => будуємо установку. Якщо установка працює, то монтуємо лінію. Якщо установка не працює, то лінію монтувати не треба.

3.2.5 Використання методу Монте-Карло

Приклад

► Нехай нам треба підрахувати якусь невідому величину т. Підберемо таку випадкову величину ξ, щоб її математичне сподівання Мξ=т. Нехай при цьому дисперсія Dξ=b². Розглянемо N незалежних випадкових величин ξ₁, ξ₂, …, ξ_n, розподіл яких збігається з розподілом £. За центральною граничною теоремою для великого N розподіл суми цих випадкових величин буде приблизно нормальним з параметрами . За правилом «трьох сигм»

звідки

З останньої формули видно, що і похибка такого наближення не більше

За допомогою методу Монте-Карло вирішують широке коло задач, основна мета яких полягає у тому, щоб знайти найкраще вирішення проблеми з множини проаналізованих варіантів. Наприклад, відшукати найкращий варіант розміщення складів, підприємств, або визначити оптимальну кількість автотранспорту, який обслуговує певний об'єкт, тощо.

Підсумовуючи вищесказане, відмітимо: для побудови моделі дуже важливо вибрати правильний математичний апарат, який дозволив би з максимальною точністю відобразити все, що необхідно для успішного розв'язку поставленої задачі. Тому моделей досліджуваної системи може бути кілька. Так, для вибору найбільш значимих факторів, що визначають результати функціонування економічної системи, як правило, будуються економетричні моделі; для аналізу її розвитку у ретроспективі - балансові моделі; для створення прогнозів - динамічні моделі; для детального аналізу бізнес-плану в межах певної стратегії розвитку - моделі бізнес-процесів.

Зрозуміло, що охарактеризовані вище методи не вичерпують всього інструментарію, який може використовуватися в наукових дослідженнях, але демонструють можливі напрями використання математичного апарату для одержання нових якісних знань про об'єкт дослідження.