Приклади розв’язування задач на практичних заняттях і. Детерміновані методи

3.1.3. Методи математичного програмування

Приклад ‑ Застосування теорії двоїстості в економіці

► Фірма випускає три види продукції П₁ П₂, П₃ , використовуючи для цього чотири види ресурсів Р₁ Р₂, Р₃, Р₄- Норми витрат ресурсів на одиницю продукції, а також запаси ресурсів і прибуток від продажу одиниці продукції подано в таблиці:

Продукція Ресурси	Норми витрат ресурсів на 1 од. продукції				Запаси ресурсів
	П,	П2	П3
р.	1	2	1	18
Рі	2	1	1	16
Рз	1	1	-	8
Рд	-	1	1	6
Прибуток, c j грош. од.	3	4	2

Треба:

1. Скласти план випуску продукції, який забезпечить фірмі найбільший прибуток.

2. Визначити дефіцитність ресурсів.

3. Оцінити доцільність введення в план виробництва фірми нового виду продукції (четвертого), норми витрат на 1 од. якої, відповідно.

Розв'язування.

1) Позначимо х = (х₁, х₂, х₃) план виробництва продукції трьох видів, тоді математична модель задачі має вигляд:

з обмеженнями:

Спряжена задача буде мати вигляд:

при обмеженнях:

Розв'язавши задачу за допомогою симплекс-методу, одержимо розв'язки:

і грош. од.

За теоремами двоїстості: =(0,1/2,2,3/2) і = 33 грош.од.

2. Оскільки значення змінних u_i в оптимальному розв'язку двоїстої задачі є оцінками впливу вільних членів системи обмежень вихідної задачі на оптимальне значення її цільової функції, то . Якщо u_i мала, тоді значному збільшенню і-го ресурсу буде відповідати невелике збільшення оптимального доходу, і цінність ресурсу невелика. Якщо u_i = 0, то при збільшенні i-го ресурсу оптимальний дохід залишається незмінним і цінність цього ресурсу дорівнює нулю. Якщо u_i велике, тоді незначному збільшенню i-го ресурсу буде відповідати суттєве збільшення оптимального доходу і цінність ресурсу висока. Зменшення ресурсу веде до суттєвого скорочення випуску продукції. Найбільш дефіцитним у нашій моделі є ресурс Р₃, для якого двоїста оцінка u₃ = 2. Менш дефіцитний ресурс Р₂, для якого и₂ = 1/2. Зовсім недефіцитним є ресурс Рі (u₁ = 0).

3. Якщо в план включаються нові види продукції, то їх оцінка знаходиться за формулою: Якщо , то новий вид продукції покращує план. Для недоцільно включати новий вид продукції. Використавши цю формулу для четвертого виду продукції, маємо:

Оскільки прибуток перевищує витрати, то введення в план виробництва четвертого виду продукції доцільно.