3.1.4. Балансові методи і моделі

Приклад ‑ Модель рівноважних цін

► Ця модель є двоїстою до моделі міжгалузевого балансу. Нехай, як і раніше, А - матриця прямих витрат, X-матриця (вектор) валового випуску. Позначимо - вектор (матрицю-стовпець) цін, і-та координата якого дорівнює ціні одиниці продукції і-тої галузі. Тоді перша галузь отримає дохід р₁х₁ друга - р₂х₂ і т.д. Частину свого доходу кожна галузь витратить на закупку продукції у інших галузей. Так, першій галузі для випуску одиниці продукції необхідна продукція першої галузі обсягом а₁₁ другої в обсязі а₂₁, п-ї в обсязі а_п1. На закупівлю цієї продукції буде витрачена сума, що дорівнює a₁₁ p₁+a₂₁ p₂+…+a_nl p_n. Отже, щоб випустити продукцію обсягом х₁, першій галузі необхідно витратити суму, що дорівнює х₁(a₁₁ p₁+a₂₁ p₂+…+ a_n1 p_n)- Частину доходу, що залишилась, яку називають доданою вартістю, позначимо V₁. Тоді мас місце рівність:

або

де - норма доданої вартості (величина доданої вартості на одиницю продукції, що випускається).

Аналогічно можна записати рівності і для інших галузей або у матричній формі

де - вектор норм доданої вартості.

Модель рівноважних цін дозволяє, знаючи величини норм доданої вартості, прогнозувати ціни на продукцію галузей. Вона також дозволяє прогнозувати зміну цін і інфляцію, викликану зміною ціни в одній з галузей.

Розглянемо економічну систему, що складається з трьох галузей: енергетика, машинобудування і сільське господарство. Нехай

це є транспонована матриця прямих витрат;

- вектор норм доданої вартості.

Визначимо рівноважні ціни:

,

де - транспонована матриця повних витрат.

Зробивши необхідні обчислення, маємо:

звідки .

Припустимо тепер, що у енергетичній галузі буде збільшення норми доданої вартості на 1,11. Визначимо рівноважні ціни в цьому випадку.

Тоді і .

Таким чином, продукція першої галузі подорожчає на 14,5%, другої - на 3,5%, третьої - на 4,17%. Також, знаючи обсяги випуску, можна підрахувати викликану цим підвищенням інфляцію.

3.1.5. Методи мережевого планування

Приклад

► Нехай внаслідок аналізу взаємозв'язку робіт, за допомогою яких створюють будь-який об'єкт, здобуто таку залежність між ними:

Робота	Попередні роботи	Наступні роботи
а	-	г
б	-	в, д
в	б	г
г	а, в	є, ж
д	б	ж
є	г	‑
ж	г,д	—

Сітковий графік є схемою, на якій у певному порядку наочно показано всі операції зі створення будь-якого об'єкта або здійснення будь-якої програми діяльності. Для заданих умов маємо:

На цьому графіку суцільними стрілками позначено роботи, що потребують витрат часу; фіктивні роботи (зв'язок між якимись результатами робіт, що не потребують витрат часу) зображуємо пунктирними стрілками. Шлях - це послідовність робіт на сітковому графіку, в якій завершення кожної попередньої роботи збігається з початком подальшої.

Усі роботи, крім фіктивних, потребують певних затрат часу, Існують два способи застосування часових оцінок - детерміністичний (коли час виконання робіт можна визначити досить точно за наявності довідково-нормативних матеріалів) і ймовірнісний (коли є досить велика невизначеність часу виконання робіт). Роботи, що перебувають на критичному шляху, зазвичай виділяють подвійними стрілками.

Нехай у нашому прикладі тривалість робіт характеризується такими даними:

Робота	а	б	в	г	д	є	ж
Тривалість роботи, днів (t)	7,16	4,16	2,0	5,0	6,83	3,16*	5,0

Тоді на сітковому графіку який побудовано раніше, запишемо час над відповідними роботами:

Тут можна відокремити такі шляхи:

1-3-4-6=15,32 дня;

1-3-4-5-6=17,16 дня;

1-2-3-4-5-6=16,16 дня;

1-2-3-4-6=14,32 дня;

1-2-5-6=15,99 дня.

Різницю між довжиною критичного шляху та будь-якого іншого шляху називають резервом часу шляху. Крім критичного шляху та резерву часу шляху найважливішими параметрами сіткового графіка є також резерви часу подій і робіт. Існує ряд методів, за допомогою яких можна розрахувати параметри сіткової моделі. Якщо подій небагато, найзручнішим є метод обчислень на сітковому графіку. При цьому кожний кружочок, що зображує подію, поділяють на чотири сектори. Верхній сектор відводиться для номера події, лівий ‑ для розраховуваних ранніх термінів завершення події Тр, нижній - для номера події, через яку до даної події проходить шлях, максимальний за довжиною, правий - для розрахунку пізніх термінів завершення події Тn. Для нашого графіка це матиме такий вигляд:

Різницю між пізнім Т_п і раннім Т_р термінами здійснення події називають резервом часу події. Оскільки резерв часу подій, що лежать на критичному шляху, дорівнює нулю, найпростішим способом виявлення критичного шляху є визначення всіх послідовно розміщених подій, резерв часу яких дорівнює нулю. Знаючи ранні та пізні терміни здійснення подій, можна для будь-якої роботи визначити ранні та пізні терміни початку й завершення роботи, а на основі цього розрахувати резерви часу робіт. Розглянуті параметри сіткових графіків використовують розроблювачі та керівництво для аналізу і оптимізації сіткових графіків.