3. Решение систем нелинейных уравнений методом итерации

Пусть дана система нелинейных уравнений:

(3.11)

или в матричной форме

F(X) = 0,

(3.12)

где матрица F(X) имеет вид

Пусть система (3.11) приведена к виду

(3.13)

или в матричной форме

(3.14)

где матрица Ф(X) имеет вид

Каждое последующее (n+1) приближение можно вычислить по итерационной формуле

(3.15)

Условие сходимости: процесс итерации (3.15) сходится к единственному решению системы (3.14), если выполняется одно из условий

Н ачальное приближение

выбирают произвольно из области сходимости метода итерации.

Процесс итерации может быть применен также к общей системе нелинейных уравнений (3.12). Перепишем эту систему в виде

(3.16)

где  – неособенная матрица.

Сравнивая (3.14) и (3.16), видим, что

(3.17)

Если F(X) имеет непрерывную производную

в некоторой окрестности изолированного решения системы (3.11), то, учитывая (3.17), получим (E – единичная матрица).

У читывая условие сходимости процесса итерации, матрицу  выбираем таким образом, чтобы

О тсюда, если матрица неособенная, то будем иметь

Учитывая сказанное, получим итерационную формулу для нахождения корней системы (3.11):

(3.18)

Замечание

В случае, если

,

следует выбрать другое начальное приближение X⁽⁰⁾.

Пример

Методом итерации решить систему нелинейных уравнений

В матричном виде заданная система уравнений имеет вид F(X) = 0, где

И терационная формула, по которой можно найти корни данной нелинейной системы, имеет следующий вид:

В качестве начального приближения возьмем матрицу

Тогда , ,

Если определитель матрицы равен 0 , то необходимо выбрать другое начальное приближение X⁽⁰⁾.

, ;

Решением данной системы является матрица .

4. Решение систем линейных уравнений – «подводные камни»

Рассмотрим систему

«Точное» решение можно найти вручную с любым числом значащих цифр, оно равно: x = 331,7; y = 5,000.

Поменяем константу 5,2 на 5,1 (т. е. ~2 %). Получим решение x = 298,6; y = 4,500. Т. е. результат изменился на ~10 % (!).

Еще интереснее: если подставить x = 358,173; y = 5,4, то при округлении получим те же правые части, что и в исходном уравнении (!).

Причина – малая величина определителя системы.

Формально точное решение оказывается неустойчивым из-за плохой обусловленности задачи.

П ри графическом построении оказывается, что соответствующие уравнениям прямые «почти параллельны» (рис. 3.1).

Рис. 3.1. Пример плохо обусловленной задачи – графики функций системы «почти параллельны»

Тема 4

Приближение функций

4.0 Интерполирование – постановка задачи

Иногда (порой довольно часто) нам известны значения функции f(x) лишь в наборе точек x₀,x₁, x₂,…, x_N (скажем, x₀<…<x_N), но не известно аналитическое выражение для f(x). Часто (но не обязательно) точки х являются равноотстоящими.

В то же время необходимо найти значения функции в промежуточных точках. Порой при этом надо провести более или менее гладкую кривую через заданный набор точек, возможно даже и за пределами заданного набора.

Если надо найти значение функции для x₀< х < x_N, то это задача интерполяции, если х за пределами набора точек – это задача экстраполяции (которая гораздо опаснее!).

Интерполяция связана c аппроксимацией функций, но отличается от нее.

Н а рис. 4.1 приведены примеры интерполяции набора точек. Видно, что в зависимости от расположения точек в одних случаях более удачной может быть интерполяция кривыми низкого порядка, в других – высокого.

Рис. 4.1. Интерполяция наборов точек кривыми разных порядков

Пусть в точках а = x₀< x₁< ... < x_n = b, называемых узлами интерполяции, функция задана таблицей своих значений

.

(4.1)

Задача интерполирования заключается в том, чтобы построить функцию g(x) (интерполирующая функция), принадлежащую известному классу и принимающую в узлах интерполяции те же значения, что и f(x) , т. е. такую, что

.

(4.2)

Геометрически это означает, что нужно провести кривую y = g(x) некоторого определенного типа, проходящую через систему заданных точек.