1. Постановка задачи

Рассмотрим систему линейных уравнений

(3.1)

Решением системы (3.1) называется совокупность таких значений неизвестных

(3.2)

при которых каждое из уравнений этой системы обращается в тождество.

Систему (3.1) кратко можно записать в виде матричного уравнения

.

(3.3)

Если определитель матрицы А не равен нулю (матрица неособенная), то решение системы (3.3) существует и оно единственное.

Имеется два основных метода «не численного» решения линейных систем: метод Гаусса и метод Крамера. С вычислительной точки зрения они сильно отличаются друг от друга по числу умножений и делений, которые необходимо выполнить в процессе решения. От этого, в свою очередь, зависит время, затрачиваемое на вычисления. Зависимость числа названных операций N от порядка системы (n) для двух упомянутых методов приведена в табл. 3.1.

Таблица 3.1 Число операций умножения и деления N для некоторых порядков n системы линейных уравнений

n	N по Крамеру	N по Гауссу
2	8	6
3	51	17
4	364	36
5	2885	65
10	~3,6 ∙108	430
50	~7,6 ∙1067	44 150

Если преобразовать систему (3.1) к специальному виду, ее можно решить методом итерации.

2. 2. Решение систем линейных уравнений методом итерации

Прежде всего, надо проверить выполнение условий сходимости метода.

Для того чтобы метод итерации сходился, необходимо, чтобы выполнялось условие сходимости для системы (3.1): метод итерации сходится, если выполнены неравенства

 (i = 1, 2, ..., n),

(3.4)

т. е. если модули диагональных коэффициентов для каждого уравнения системы больше суммы модулей всех остальных коэффициентов, не считая свободных членов.

Преобразуем систему (3.1) к специальному виду: разрешим первое уравнение системы относительно x₁, второе – относительно x₂ и т. д.

В результате получим эквивалентную систему

(3.5)

В ведя обозначения при и , при ,

представим систему (3.5) в виде

(3.6)

Перепишем систему в матричной форме:

.

(3.7)

Здесь  – матрица с нулевыми диагональными элементами. В качестве начального приближения

можно принять столбец свободных членов

Матрицу X⁽⁰⁾ подставляем в правую часть системы (3.6) и получим X⁽¹⁾. Далее X⁽¹⁾ подставим в правую часть (3.7), получим X⁽²⁾ и т. д. Таким образом, любое (n+1)-ое приближение вычисляется по формуле

.

(3.8)

Сформулируем достаточное условие сходимости процесса итерации.

Достаточное условие сходимости процесса итерации:

если для приведенной системы (3.6) выполнено по меньшей мере одно из условий

 1 (i = 1, 2, 3, …, n) или  1 (j = 1, 2, 3, …, n),

(3.9)

(3.9)

то процесс итерации (3.8) сходится к единственному решению этой системы, независимо от выбора начального приближения.

Замечание Решение системы может быть получено с заданным числом точных десятичных знаков. Чтобы избежать накопления погрешностей в промежуточных вычислениях, последовательные приближения X⁽ⁱ⁾, i = 0, 1, 2, … вычисляют до совпадения всех требуемых знаков, после чего запасные знаки округляются.

Оценка погрешности для метода итерации:

(3.10)

Пример

Методом итерации решить систему уравнений

и оценить число необходимых для этого шагов.

Видно, что условие сходимости (3.4) для данной системы не выполняется, т. к. в уравнениях (а) и (b) нет диагонального преобладания. Для применения метода надо преобразовать систему к виду, для которого выполняется условие (3.4).

У множим уравнение (а) на  , (b) на , сложим оба уравнения и в полученном выражении выберем  и  так, чтобы появилось диагональное преобладание:

Положив  =  = 5, получим:

25x₁ + x₂ – 3,5x₃ = 5.

С уравнением (b) поступаем аналогично, вводя множители  и :

Положив  = 3, получим

0·x₁ + 9,4x₂ – 3,4x₃ = –3.

В результате исходная система примет следующий вид:

Здесь есть диагональное преобладание, т. е. для системы выполняется условие сходимости (3.4).

Р азрешив эту систему относительно диагональных неизвестных, получим так называемую приведенную систему уравнений (для нее выполняется условие сходимости (3.9)):

В качестве начального приближения X⁽⁰⁾ принимаем столбец свободных членов:

Применяя формулу (3.8), найдем решение системы

,

и т. д.

Решением исходной системы будет матрица: