4. Метод хорд (метод пропорциональных частей)

Пусть корень с уравнения f(x) = 0 принадлежит отрезку [a, b], причем производные и непрерывны и сохраняют определенные знаки на данном отрезке.

Сначала изучается расположение корней и осуществляется их отделение. Затем выбирается начальное приближение x₀.

Правильный выбор начального приближения x₀ влияет на сходимость метода.

При неправильном выборе x₀ каждое следующее приближение может все дальше удаляться от корня уравнения, т. е. метод хорд будет расходиться.

Применяют следующее правило выбора начального приближения: неподвижен тот конец интервала [a, b], для которого знак функции f(x) совпадает со знаком ее второй производной , т. е. должно выполняться условие f (x) > 0.

Е сли > 0, то точка a является неподвижной, а в качестве начального приближения выбираем точку b, т. е. x₀ = b, и формула, определяющая алгоритм вычислений, имеет вид

В обратном случае

Метод проиллюстрирован на рис. 2.9. После отделения корня через точки 1 и 2 проводим хорду и находим точку ее пересечения с осью абсцисс. В этой точке восстанавливаем перпендикуляр до пересечения с кривой. Тем самым находим точку 3. Через точки 2 и 3 проводим новую хорду до пересечения с осью Ox. Из точки пересечения снова восстанавливаем перпендикуляр до пересечения с кривой. Получаем точку 4. Процесс продолжается до достижения необходимой точности.

Рис. 2.9. Иллюстрация к методу хорд. Точки 1 и 2 получены при отделении корня. Все последующие – в ходе применения процедуры метода хорд

Пример.

Методом хорд найти корни уравнения

Построив график функции , находим, что данное уравнение имеет один действительный корень, лежащий в интервале [1,4; 1,5].

Проверим условие нахождения корня в данном интервале

f(1,4) = – 0,05788 < 0, f(1,5) = 0,21640 > 0.

f(1,4) f(1,5) < 0, следовательно, условие нахождения корня в найденном интервале выполняется.

Далее найдем .

= 1,42857 > 0, = 1,33333 > 0.

Определим неподвижную точку согласно условию > 0. Так как > 0, то точка = 1,5 является неподвижной, а в качестве начального приближения корня выбираем точку = 1,4.

Каждое (n+1) приближение корня вычисляем по формуле .

= 1,42152;

= 1,42153, = 1,42153.

Сравнивая и , видим, что корнем уравнения является число = 1,42153.

Возможны случаи, когда метод хорд будет сходиться крайне медленно. Одна из возможных ситуаций проиллюстрирована на рис. 2.10.

Рис. 2.10. Пример функции, для которой метод хорд сходится очень медленно

5. Метод итерации (метод последовательных приближений)

Метод универсален: его можно применять для решения обширного класса как линейных, так и нелинейных уравнений.

Сущность метода в следующем.

Пусть дано уравнение f(x) = 0, где f(x) – непрерывная функция, и требуется найти его вещественные корни.

Преобразуем уравнение в эквивалентное уравнение вида

.

(2.3)

Выберем начальное приближение x₀ и, подставив его в правую часть уравнения (1.3), получим число x₁ = (x₀ ). Затем вычислим x₂ = (x₁ ) и т. д.

Получим последовательность чисел , определяемую равенством

(2.4)

Для того чтобы последовательность сходилась к корню с уравнения f(x) = 0, необходимо выполнение условия сходимости: если функция (x) определена и дифференцируема на отрезке [a, b] и при всех a < x < b, то процесс итерации (2.4) сходится к корню с уравнения f(x) = 0 независимо от начального значения x₀ [a, b].

Условие сходимости имеет вид

,

(2.5)

где q – максимальное значение производной на интервале, содержащем корень уравнения (если корней несколько, то условие сходимости должно выполняться для каждого интервала).

Чем ближе к нулю максимальное значение производной q, тем выше скорость сходимости метода.

Замечание

Пусть в некоторой окрестности [a, b] корня с уравнения x = (x) производная сохраняет постоянный знак и выполнено неравенство .

Тогда, если производная положительна, т. е. , то последовательные приближения

x₀ [a, b] сходятся к корню монотонно.

Если же производная отрицательна, то последовательные приближения колеблются около корня с.

Для метода итерации большое значение имеет способ преобразования уравнения (2.1) к виду (2.3), т. е. выбор функции , которая должна подчиняться условию сходимости .

Есть достаточно общий прием приведения уравнения (2.1) к виду (2.3), для которого обеспечено выполнение неравенства (2.5).

Пусть искомый корень лежит в интервале [a, b], причем

для x [a, b], где m – наименьшее значение, а M – наибольшее значение производной на [a, b].

Если производная отрицательна, то вместо уравнения f(x) = 0 рассматриваем уравнение – f(x) = 0.

Введя множитель , произведем простые преобразования:

.

В итоге заменим уравнение (2.3) эквивалентным уравнением вида

(2.7)

Сравнивая (2.7) и (2.3), видим, что (x) = x – f(x).

Поскольку метод итерации должен быть сходящимся и для функции (x) должно выполняться условие (2.5), то будем иметь

.

(2.8)

Можно положить:

(2.9)

Фактически выражения (2.7), (2.9) дают универсальный способ нахождения функции (x), т. е. универсальный способ приведения уравнения (2.1) к виду, пригодному для запуска итерационной процедуры.

В методе итерации в качестве начального приближения x₀ чаще всего принимается один из концов интервала [a, b]. Если  – точность, с которой необходимо найти корень, то выход из процедуры происходит обычно по условию

где x⁽ⁿ⁾ и x^(n-1) – приближенные значения корня, соответственно, на n-ой и (n–1)-ой итерациях.

Замечание

Преимущество метода итерации заключается в том, что сходимость процесса не зависит от выбора начального приближения x₀.

Отдельная ошибка, допущенная при вычислениях, не выводящая за пределы отрезка [a, b], не повлияет на конечный результат.

Такое свойство называют свойством самоисправляемости сходящегося итерационного процесса.

На рис. 2.11 показано, как «работает» метод итераций в случае «хороших» функций (x), т. е. когда

На рисунках отложены прямая y = x и кривая y = (x). Корень уравнения отвечает абсциссе точки пересечения этих двух линий.

После выбора начального приближения x₀ вычисляется значение функции (x₀) – ему соответствует точка А на рис. 2.11а.

Приравнивание x₁ = (x₀) означает, что мы проводим через точку А прямую, параллельную оси абсцисс, до пересечения с прямой y = x (точка В). Получаем новую абсциссу x₁. С ее использованием вычисляем новое значение функции (x₁) (точка С на рис. 2.11а).

Процедура повторяется до нахождения корня с заданной точностью.

На рис. 2.11 показаны также монотонная сходимость к корню и осцилляции вокруг него.

На рис. 2.12 проиллюстрировано поведение итерационной процедуры, когда условие (2.5) не выполняется. По аналогии с рис. 2.11 можно видеть монотонное и осциллирующее удаление приближенных решений от корня уравнения.

а	б
Рис. 2.11. «Работа» метода итераций в случае «хороших» функций (x): а – ; б –

а	б
Рис. 2.12. Расходимость метода итераций в случае : а – ; б –

В заключение темы рассмотрим пример использования техники, задаваемой выражениями (2.7), (2.9).

Пример

Методом итерации решить уравнение .

Построив график функции, находим, что уравнение имеет единственный действительный корень, принадлежащий отрезку 1,1; 1,2.

Преобразуем данное уравнение к виду (2.3) следующим образом: . При таком преобразовании имеем .

Проверим выполнение условия сходимости (2.5).

.

1;

1.

Видно, что условие сходимости (2.5) не выполняется и такое преобразование не подходит, т. к. метод будет расходиться.

Преобразуем уравнение к виду (см. (2.7))

x = x – (x⁵ + x – 3).

Согласно (2.9), = 1/M, где М – наибольшее значение производной на отрезке.

= 5x⁴ + 1.

= 8,3205;

= 11,368.

Таким образом,  = 1/11,368 и

.

В качестве нулевого приближения выберем среднюю точку отрезка x₀ = 1,15.

Тогда

x₁ = 1,12547; x₂ =1,13152; x₃ = 1,13272; x₄ = 1,13294;

x₅ = 1,13299; x₆ = 1,13300; x₇ = 1,13300.

Тема 3

Решение систем линейных и нелинейных уравнений