2. Метод половинного деления (метод «вилки», метод дихотомии)

Определяем, какие корни требуется найти, например, только положительные или только отрицательные и т. д.

Графическим методом находим интервалы, в каждом из которых находится только один корень данного уравнения.

Разделим отрезок [a, b] пополам точкой d и получим уже два интервала: [a, d] и [d, b].

Выбираем тот отрезок, на концах которого функция f(x) принимает значения разных знаков, и опять делим его пополам.

Повторяем все эти действия до тех пор, пока длина отрезка, содержащего корень, не станет меньше погрешности, с которой ищется корень.

Легко видеть, что после N делений длина отрезка уменьшится в 2^N раз. Так, после 20-ти делений длина отрезка составит 1/2²⁰ долю от первоначальной, т. е. уменьшится в 1 048 576 раз.

Пример

Методом половинного деления найти корень уравнения .

Графически находим интервал [0,4; 0,5], в котором находится действительный корень данного уравнения.

f(0,4) = –0,136 < 0;

f(0,5) = 0,125 > 0.

Условие нахождения корня в рассматриваемом интервале выполняется, т. е. f(0,4)f(0,5) < 0.

Интервал [0,4; 0,5] делим пополам точкой = 0,45. Получаем два интервала: [0,4; 0,45] и [0,45; 0,5].

Для того чтобы определить, в каком из полученных интервалов содержится искомый корень уравнения, проверим условие < 0.

f(0,4) = –0,136 < 0;

f(0,5) = 0,125 > 0;

f(0,45) = –0,00888 < 0.

< 0, следовательно, выбираем [0,45; 0,5]. Этот интервал делим пополам:

= 0,475.

Опять получаем два интервала: [0,45; 0,475] и [0,475; 0,5].

f(0,475) = 0,05717 > 0.

Т. к. < 0, то выбираем [0,45; 0,475].

Так продолжаем до тех пор, пока не найдем корень данного уравнения.

.................................

[0,453397; 0,4534];

= 0,453398;

f(0,453398) = 0,0000009.

Очевидно, что x = 0,453398 является искомым корнем данного уравнения с довольно высокой точностью.

3. Метод Ньютона (метод касательных)

Основное достоинство метода – быстрая сходимость.

Метод Ньютона универсален и пригоден для решения обширного класса уравнений.

Пусть корень с уравнения f(x) = 0 принадлежит отрезку [a, b], причем, , и непрерывны и сохраняют определенные знаки на данном отрезке.

Метод имеет простой геометрический смысл.

Е сли x₀ – некоторое приближение к корню с уравнения, то за новое приближение x₁ принимают точку пересечения касательной, проведенной в точке (x₀, f(x₀)) к графику функции f(x), с осью Ox (рис. 2.7).

Рис. 2.7. Иллюстрация выбора следующего приближения к корню уравнения в методе Ньютона

Алгоритм поиска корня задает итерационная формула:

(2.2)

Каждое последующее приближение к корню вычисляется через предыдущее.

При неудачном выборе x₀ может случиться, что следующее приближение x₁ к корню уравнения окажется вне интервала [a, b]. При этом надо выбрать другое начальное приближение.

В противном случае метод Ньютона может сходиться очень медленно, что приведет к накоплению погрешности вычисления, или не сходиться вообще.

Применяя метод Ньютона, следует руководствоваться следующим правилом при выборе начальной точки: в качестве начального приближения x₀ выбирается тот конец интервала [a, b], которому отвечает ордината того же знака, что и знак , т. е. должно выполняться условие > 0 (на концах интервала).

Если > 0, то принимаем x₀ = a, если > 0, то x₀ = b.

Замечание

Недостатком метода Ньютона является необходимость вычисления производной для каждого x_n. Если значение производной близко к нулю, то новое приближение x_n+1 может быть худшим приближением, чем x_n.

Иногда целесообразно применять модифицированный метод Ньютона, в котором последовательные приближения определяются формулой

Формула весьма полезна, если вычисление сложно. С другой стороны, модифицированный метод сходится значительно медленнее, чем основной метод Ньютона.

Пример

Методом Ньютона (касательных) вычислить корни уравнения .

Графически находим два интервала [–1,4; –1,3] и [0,5; 0,6]. Сразу найдем корень, принадлежащий [–1,4; –1,3].

f(–1,4) = 0,20660 > 0,

f(–1,3) = –0,03747 < 0.

f(–1,4) f(–1,3) < 0, следовательно, корень находится в этом интервале.

Корень будем уточнять по формуле .

За начальное приближение x₀ принимаем тот конец интервала [–1,4; –1,3], для которого выполняется условие > 0.

, .

= 2,27253 > 0, = 2,24660 > 0.

Для точки x = –1,4 выполняется условие > 0, поэтому положим x₀ = –1,4.

= –1,31909;

= –1,31598;

= –1,31597; = –1,31597.

Один корень уравнения x = –1,31597.

Все в том же порядке повторим для интервала [0,5; 0,6].

f(0,5) = –0,10128 < 0,

f(0,6) = 0,18212 > 0.

< 0, следовательно, корень находится в этом интервале.

Для уточнения корня опять воспользуемся формулой .

За начальное приближение принимаем тот конец интервала [0,5; 0,6], для которого выполняется условие > 0.

Т.к. для точки x = 0,6 выполняется условие > 0, то положим x₀ = 0,6.

Проделав выкладки, аналогичные предыдущим, получим x = 0,53727.

Отметим, что при использовании метода Ньютона возможна ситуация «зацикливания», особенно, если функция f(x) получена с помощью интерполяции (рис. 2.8). Спасает дело лучший выбор начального приближения.

Рис. 2.8. «Зацикливание» итераций в методе Ньютона, поскольку касательные в точках 1 и 2 оказались параллельны