1. Постановка задачи

В общем случае задача имеет вид

(2.1)

где f(x) – заданная функция действительного или комплексного аргумента x.

Корнем (или решением) уравнения (2.1) называется значение c, при котором f(c) = 0.

Приближенное нахождение корней уравнения складывается из двух этапов:

отделение корней, т. е. нахождение наиболее узких интервалов [a, b], в каждом из которых содержится один и только один корень данного уравнения (количество интервалов определяется видом функции f(x));

1. уточнение приближенных корней, т. е. вычисление корней с заданной степенью точности.

Для отделения корней чаще всего применяют графический метод, основанный на том, что вещественные корни уравнения (2.1) являются точками пересечения графика функции f(x) с осью x. Следовательно, построив график, можно принять за приближенные значения корней абсциссы точек пересечения графика с осью x.

Иногда удобно функцию f(x) представить в виде f₁(x) = f₂(x), построить графики y = f₁(x) и y = f₂(x) и найти абсциссы их точек пересечения. Эти точки и будут приближенными значениями корней.

Пример

Отделить корни уравнения x² + x – 2 = 0.

Можно построить график функции x² + x – 2 = 0. Точки пересечения этого графика с осью x будут являться приближенными корнями уравнения (рис. 2.1).

Кроме того, можно исходное уравнение записать в виде x² = 2 - x и построить графики y = x² и y = 2 - x. Абсциссы точек пересечения этих графиков можно принять за приближенные корни заданного уравнения (рис. 2.2).

Рис. 2.1. График функции x2 + x – 2	Рис. 2.2. Графики функций x2 и 2 – x

Еще один способ отделения корней: исследование функции f(x) для установления интервалов, на которых происходит изменение знака функции (рис. 2.3).

Р ис. 2.3. Интервал [a, b], на концах которого функция принимает разные знаки

Приведенная на рис. 2.3 ситуация может показаться самоочевидной, однако на практике попадаются гораздо более сложные случаи (рис. 2.4–2.6).

Рис. 2.4. На концах всех интервалов ф ункция имеет одинаковые знаки, однако на интервале [a, b] имеются два корня, на интервале [c, d] – один корень, на интервале [e, f] корней нет

Рис. 2.5. «Патологическая» функция, многократно проходящая через 0 на небольшом интервале

Рис. 2.6. Разрывная функция, п ринимающая на концах интервала [a, b] разные знаки, однако внутри интервала корней нет!

Очень полезной оказывается следующая теорема.

Теорема: Пусть функция f(x) непрерывна на интервале [a, b] и принимает на концах данного интервала значения разных знаков, т. е. f(a)f(b) < 0.

Тогда внутри интервала [a, b] найдется такая точка c, значение функции в которой равно нулю, т. е. f(c) = 0, и которая является корнем данного уравнения.

Корень c заведомо будет единственным на [a, b], если производная существует и сохраняет постоянный знак внутри данного интервала, т. е. если или .

Численные методы, используемые для уточнения приближенных корней, применяются для каждого найденного интервала заданного уравнения.