1.1 Источники и классификация погрешностей

Обычно выделяют следующие источники погрешности решения задачи.

1. Математическое описание задачи является неточным. В частности, не удалось надлежащим образом описать задачу с помощью набора уравнений, неточно заданы исходные данные описания и др. Это неустранимая погрешность.

2. Применяемый для решения метод часто не является точным: получение точного решения задачи требует неограниченного или неприемлемо большого числа арифметических операций, поэтому вместо получения точного решения приходится прибегать к приближенному. Это погрешность метода.

3. При выполнении арифметических операций на компьютере или любым другим образом, как правило, производятся округления (это же относится к вводу чисел в память компьютера и выводу полученных результатов). Это вычислительная погрешность.

1.2 Абсолютная и относительная погрешности вычисления

Е сли a – точное значение некоторой величины, а a* – известное приближение к нему, то абсолютной погрешностью приближения a* называют величину Δ(a*), удовлетворяющую неравенству

О тносительной погрешностью называют величину  (a*), удовлетворяющую неравенству

Относительную погрешность часто выражают в процентах.

Рассмотрим способы нахождения погрешностей результата при выполнении арифметических операций.

Пусть X и Y – «точные» значения двух величин. В вычислительном устройстве (после округления) они представлены как x и y.

М ожно записать

Здесь a и b – положительные числа.

О чевидно, что

Вывод: при сложении (вычитании) двух чисел максимальная погрешность суммы (разности) равна сумме максимальных погрешностей исходных двух чисел.

Рассмотрим теперь случаи произведения и деления приближенных величин.

Перепишем соотношения

в виде

Пренебрегая малыми величинами (a/x)(b/y), получаем для XY

Д ля частного находим

Вывод: при умножении (делении) двух чисел максимальная относительная погрешность произведения (частного) равна сумме максимальных относительных погрешностей исходных двух чисел.

Представим сказанное в несколько более формализованном виде.

1.3 Погрешности арифметических операций

Погрешность суммы

П усть задана функция

Для абсолютной погрешности получаем

Относительная погрешность

Погрешность разности

Пусть задана функция

Для абсолютной погрешности получаем

Относительная погрешность

Если и близки, относительная погрешность может оказаться много больше и .

Погрешность произведения

Пусть задана функция

Для абсолютной погрешности получаем

Относительная погрешность

Погрешность частного

Пусть задана функция

Д ля абсолютной погрешности получаем

Относительная погрешность

1.4 Обратная задача теории погрешностей

Рассмотренные выше оценки относились к «Прямой задаче погрешностей» – т. е. нахождению погрешности функции по погрешностям аргументов.

Обратная задача теории погрешностей – нахождение допустимой погрешности аргументов, при которой погрешность значений функции будет не более заданной величины .

В общем случае обратная задача математически некорректна. Возможно, однако, рассмотрение некоторых частных случаев.

В рассмотрении используем неравенство

Накладывается условие .

Рассмотрим три частных случая.

1. Если функция зависит от одной переменной, т. е. n = 1, то .

2. При n > 1 если погрешности переменных одинаковы, (x₁ ) = … =  (x_i ) = , то .

3. При n > 1, если вклады в погрешность результата одинаковы,

, то .

Тема 2

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений

Необходимость решения уравнений возникает при рассмотрении большого числа разнообразных задач. При этом зачастую приходится прибегать к численным методам, поскольку даже в случае алгебраических уравнений порядка n общие решения найдены лишь для n < 5. Что касается трансцендентных уравнений, то общие решения, как правило, отсутствуют вовсе.