10.4 Вычисление кратных интегралов
Пусть функция
y = f(x1, x2, ..., xm)
непрерывна в ограниченной замкнутой области S и требуется вычислить m-кратный интеграл
|
(10.2) |
Геометрически число I представляет собой (m + 1)-мерный объем прямого цилиндроида в пространстве Ох1х2 ... хmу, построенного на основании S и ограниченного сверху данной поверхностью y = f(x), где х = (х1, х2, …, хm) (рис. 10.8).
|
Рис. 10.8. К вычислению кратного интеграла. |
Преобразуем интеграл (10.2) так, чтобы новая область интегрирования целиком содержалась внутри единичного m-мерного куба. Пусть область S расположена в m-мерном параллелепипеде
ai £ xi £ Ai, (i = 1, 2, …, m). |
(10.3) |
Сделаем замену переменных
|
(10.4) |
Тогда m-мерный параллелепипед (10.3) преобразуется в m-мерный единичный куб
0 £ xi £ 1, (i = 1, 2, …, m) |
(10.5) |
и, следовательно, новая область интегрирования s, которая находится по обычным правилам, будет целиком расположена внутри этого куба (рис. 10.9).
|
Рис. 10.9. Переход к единичному кубу |
Якобиан преобразования имеет вид:
Таким образом,
|
(10.6) |
Здесь функция F связана с исходной функцией f соотношением
Способ решения
Выбираем m равномерно распределенных на отрезке [0, 1] последовательностей случайных чисел:
Точки Mi(x(1)i, x(2)i, …, x(m)i ) можно рассматривать как случайные.
Выбрав достаточно большое число N точек М1, M2, ..., МN, проверяем, какие из них принадлежат области s (первая категория) и какие не принадлежат ей (вторая категория).
Пусть (рис. 10.10)
|
Рис. 10.10. Две категории точек |
Относительно границы Г области s следует заранее договориться, причисляются ли граничные точки или часть их к области s, или не причисляются к ней.
Взяв достаточно большое число n точек Mi Î s, приближенно можно положить:
отсюда искомый интеграл
где под s понимается m-мерный объем области интегрирования.
Если вычисление объема s затруднительно, можно принять:
Отметим:
Число испытаний n не зависит от размерности интеграла i0
и поэтому метод Монте–Карло выгодно применять для вычисления кратных интегралов высоких размерностей, где применение обычных кубатурных формул встречает значительные затруднения.
Например, для приближенного вычисления обычным путем 10-кратного интеграла, распространенного на единичный объем, при выборе шага h = 0,1 понадобится сумма, содержащая примерно 1010 слагаемых!