10.1 Проблема получения случайных чисел

Пусть в рассматриваемом примере был бы начерчен полный круг и повешен на стену в качестве мишени. Стрелок, находящийся на некотором расстоянии от стены, стреляет N раз, целясь в центр мишени. Пули пробьют на мишени N случайных точек. Можно ли по этим точкам оценить площадь круга?

При высокой квалификации стрелка результат опыта будет очень плохим, т.к. почти все пули будут ложиться вблизи центра.

Т. о., наш метод вычисления площади будет справедлив только тогда, когда случайные точки будут не «просто случайными», а еще и «равномерно разбросанными» по всей площади квадрата.

Применялись два основных подхода.

1. Использование физических процессов: шумы в электронных схемах, радиоактивный распад ядер и др.

Достоинства: высокая «степень случайности» (при соблюдении некоторых дополнительных условий).

Недостатки: порой слишком медленно; невоспроизводимость последовательностей (т. е. невозможно повторить расчет с тем же набором случайных чисел).

2. Использование псевдослучайных чисел, т. е. чисел, получаемых по какой-либо формуле, и имитирующих значения случайной величины. Под «имитацией» понимается, что эти числа удовлетворяют набору тестов, как и «истинная» случайная величина.

Достоинства: на получение каждого числа надо всего несколько простых операций компьютера; программа занимает всего несколько ячеек памяти; любое из чисел можно воспроизвести; «качество» последовательности можно проверить только один раз, а затем пользоваться.

Недостаток: последовательность всегда одна и та же (от библиотечной функции типа RANDOM).

10.2 Общая схема метода

Допустим, что нам требуется вычислить какую-то неизвестную величину m.

Попытаемся предложить такую случайную величину x, чтобы Мx = m. Пусть при этом дисперсия Dx = b².

Рассмотрим N случайных независимых величин x₁, x₂, …, x_N, распределения которых совпадают с распределением x.

Если N достаточно велико, то согласно предельной центральной теореме распределение суммы r_N = x₁+ x₂ +…+ x_N будет приблизительно нормальным с параметрами a = Nm, s² = Nb².

Из «правила трех сигм» следует, что

Разделив неравенство в фигурной скобке на N, получим эквивалентное неравенство и вероятность его останется такой же:

Перепишем это соотношение в несколько ином виде:

(10.1)

Соотношение (10.1) – ключевое для метода Монте–Карло. Оно дает и метод расчета m, и оценку погрешности.

В самом деле, найдем N значений случайной величины x.

Важно: безразлично, находить ли один раз по одному значению каждой из величин x₁, x₂, …, x_N или найти N значений одной величины x, т. к. все эти случайные величины одинаковы (имеют одно и то же распределение).

Из (10.1) видно, что среднее арифметическое этих значений приближенно равно m.

С большой вероятностью ошибка этого приближения не превосходит и стремится к нулю с ростом N.

10.3 Метод Монте–Карло. Пример

Прохождение гамма-квантов через железную пластину

Нормально к пластине падает пучок квантов. При прохождении через пластину они могут поглощаться (фотоэффект) и рассеиваться (эффект Комптона). Определить долю прошедших квантов. Геометрия задачи показана на рис. 10.4.

Рис. 10.4. Возможные траектории квантов в пластине: а – прохождение сквозь пластину; б – поглощение; в – отражение

До вступления в какое-либо взаимодействие квант пройдет некоторое расстояние в среде – длину свободного пробега l.

В случае однородной среды вероятность взаимодействия на отрезке пути Dz пропорциональна длине этого отрезка: Dw = k Dz. Коэффициент пропорциональности k зависит от свойств среды и энергии квантов.

Если на границе среды падает N₀ квантов (при z = 0), то на отрезке от z до z + Dz изменение числа квантов равно

DN = –kN(z)Dz.

Решение: N(z) = N₀exp(–kz).

Т. о., на пути от 0 до z вступили во взаимодействие N₀ – N(z) = N₀(1 – exp(–kz)) квантов.

На рис. 10.5 построена кривая w = 1 – exp(–kz).

Рис. 10.5. Вероятность для квантов вступить во взаимодействие как функция пути

Рис. 10.6. Относительные вероятности фотоэффекта (wF) и комптоновского рассеяния (wS).

Кривая на рис. 10.5 может быть также получена экспериментально.

Пройдя свободно определенный путь, квант может быть поглощен, либо рассеян. Соответствующие вероятности показаны на рис. 10.6.

Испытав рассеяние, квант может продолжить путь под тем или иным углом по отношению к первоначальному направлению.

Индикатриса рассеяния для квантов с относительно малой энергией показана на рис. 10.7.

Рис. 10.7. Вероятность рассеяния квантов под разными углами при комптоновском процессе

Угол q отсчитывается от первоначального направления.

Плоскость, задаваемая точками А – 0 – 180°, может быть повернута на любой угол вокруг прямой 180° – 0°.

Следовательно, надо задать еще азимутальный угол j. Любое его значение равновероятно. Можно принять j = В·360°, где В – случайное число между 0 и 1.

Для решения задачи не хватает лишь случайных чисел. Обычно их получают с помощью генератора. Можно также воспользоваться таблицей.

Алгоритм.

1. Обнуляем счетчики общего числа квантов N₀, числа прошедших квантов N ⁺ и числа отраженных квантов N ^–.

2. N₀ = N₀ + 1, z = 0 (смещение кванта вдоль оси z).

3. Выбираем случайное число.

4. С его помощью по графику 10.5 разыгрываем длину свободного пробега Dz, z = z + Dz.

5. Если z < 0, N ^– = N ^– + 1 и переход к п.2. Если z > h, N ⁺ =N ⁺ + 1 и переход к п.2.

6. Берем следующее случайное число и разыгрываем тип взаимодействия.

7. Если это рассеяние, разыгрываем углы и переходим к п.3.

Выход из алгоритма, например, по достижении заданного N₀ или какому-либо другому условию.