Тема 10

Метод Монте–Карло

10.0 Метод Монте–Карло. Некоторые задачи

Задача Бюффона

Название «метод Монте–Карло» для методов, систематически использующих случайную величину, появилось во второй половине 40-х годов ХХ века, когда фон Нейман и Улам использовали случайные числа для моделирования поведения нейтронов.

Сама идея восходит, по меньшей мере, к французскому естествоиспытателю Бюффону (XVIII век).

Формулировка задачи: на листе бумаги имеется набор параллельных прямых на расстоянии друг от друга. С некоторой высоты на лист роняют иголку длиной L < d. Упав, иголка случайным образом располагается на бумаге, пересекая, либо не пересекая линии. Из количества пересечений и общего числа всех результатов надо оценить число  (рис. 10.1).

Рис. 10.1. К задаче Бюффона

Пусть d = 1, а длина иголки L < d.

Когда иголку бросают, центр ее может упасть от прямой на любом расстоянии от 0 до 1/2. Обозначим эту переменную через х.

Угол наклона иголки к прямым обозначим через j (рис. 10.1). Переменные х и j можно считать случайными и независимыми.

Условие пересечения: .

На рис. 10.2 заштрихована область, ограниченная кривой x = L∙cos(j/2), в которую должна попадать точка с координатами (j, х), чтобы иголка пересекала одну из линий.

Рис. 10.2. К задаче Бюффона. Условие пересечения одной из линий

Отношение штрихованной площади к площади всего прямоугольника возможных точек есть вероятность пересечения. Это отношение равно

Можно рассматривать рассуждения Бюффона как определение значения p методом Монте–Карло. Если бы относительно p было известно только, что оно лежит между 1 и 10, это был бы прекрасный способ обнаружить, что p примерно равно 3. Сделав много бросаний, мы могли бы получить p примерно 3,1.

Ошибка уменьшается , где N – число испытаний.

Метод Монте–Карло называют также методом статистических испытаний.

Площадь круга

Из таблицы случайных чисел выбираем (например, подряд) числа и сопоставляем им точки (рис. 10.3).

Из 15 нанесенных точек внутрь попали 11. Отсюда площадь четверти круга 11/15 ≈ 0,73. Т.к. эта площадь равна p/4, получаем оценку для p ≈ 2,9.

Взяв из той же таблицы 150 точек, получим оценку для p ≈ 3,4 (!!).

Вывод: при относительно небольшом числе испытаний в силу случайных причин меньшее число испытаний может иногда дать более точный результат, чем большее число испытаний.

Однако из этого следует лишь то, что число испытаний должно быть достаточно большим – только тогда есть уверенность в уменьшении погрешности.

В рассматриваемом примере можно принять, что ошибка при определении некоторого числа A (число испытаний = N) равна

Рис. 10.3. Вычисление площади круга

Т. о. при N =150 мы получили Δp ≈ 0,28, так что наше p должно быть записано в виде p ≈ 3,4 ± 0,28.

Из приведенной формулы можно извлечь оценку необходимого числа испытаний для достижения заданной точности.

Это число равно N = A²/(ΔA)².

Для получения p с точностью до одной сотой нужно около 100 000 испытаний.