8.2 Ду в частных производных. Гиперболические уравнения
Напомним, что в общем случае мы имеем уравнение (8.1).
При B2 – 4AC > 0 получаем уравнения гиперболического типа.
Типичный пример задачи – расчет колебаний струны.
Пусть имеется струна длиной L, натянутая между двумя точками оси х, точкой х = 0 и точкой x = L. Натяжение струны равно Т. Если отклонить струну от положения равновесия и отпустить, то она начнет колебаться.
Смещение каждой точки струны относительно положения равновесия зависит не только от координаты x этой точки, но и от времени t (иллюстрация будет приведена ниже на рис. 8.4).
Отклонение струны от положения равновесия описывается уравнением гиперболического типа (его обычно называют волновым уравнением), которое приводится здесь без вывода:
для 0 x L, t > 0.
Коэффициент а учитывает физические характеристики. Для простоты мы примем а = 1, так что задача выразится следующим образом:
|
(8.7) |
Простая замена переменных сводит любое волновое уравнение к виду (8.7).
Поскольку концы струны закреплены, имеем
u(0, t) = u(L, t); t 0. |
(8.8) |
Начальными условиями являются начальное смещение
u(x, 0) = f(x); 0 x L, |
(8.9) |
и начальная скорость
ut(x, 0) = g(x); 0 < x < L. |
(8.10) |
Возможные начальные условия задачи показаны на рис. 8.4.
|
Рис. 8.4. Иллюстрация к задаче о колебании струны. Показаны возможные начальные условия |
Если мы оттянем струну за середину, как на рис. 8.4, и отпустим ее без придания ей начальной скорости, то начальные условия запишутся в виде
Мы назвали эти условия начальными, а не граничными. В действительности, если задать для гиперболического уравнения граничные условия, то полученная задача не будет иметь единственного решения.
Подобные задачи называются некорректно поставленными. Очень важно, чтобы дополнительные условия должным образом соответствовали каждому типу уравнений.
Чтобы найти разностные уравнения, соответствующие (8.7), воспользуемся равенствами (7.3) и (7.5), причем вместо у будем писать t. Теперь сетка простирается бесконечно в направлении положительных значений t – мы можем искать решение для сколь угодно далекого момента времени.
В направлении х примем шаг сетки равным h, в направлении t – равным k.
Интервал L разделяется на n = L/h малых интервалов h, а в направлении t может быть сколь угодно много интервалов k.
Если обозначить
ui,j = u(ih, jk) и = k/h,
то разностное уравнение запишется в виде
|
(8.11) |
для i = 1, 2, …, n и j = 1, 2, … .
Граничное условие (8.8) записывается в виде
u0, j = un, j = 0; j = 1, 2, 3, … . |
(8.12) |
Начальное условие (8.9) можно записать в виде
ui,0 = f(ih); i = 1, 2, … n – 1. |
(8.13) |
Для записи в разностном виде начального условия (8.10) можно использовать равенство (7.1), откуда
C помощью (8.13) получаем
ui,1 = f(ih) + kg(ih). |
(8.14) |
Решение гиперболического разностного уравнения
Выражения (8.14) и (8.13) дают значения u для первых двух строк: j = 0 и j = 1.
Подставляя j = 1 в (8.11), получим
Все слагаемые в правой части этого уравнения включают значения u только из первых двух строк сетки.
Все эти значения известны из начальных условий. Поэтому в последнем уравнении имеется только одно неизвестное и все значения функции, соответствующие третьей строке, можно вычислить в явном виде.
Это же справедливо и для последующих строк. Систем уравнений решать не приходится. Таким образом, (8.11) представляет собой явную схему решения волнового уравнения.
Вопросы сходимости и устойчивости метода рассмотрим без доказательств.
Показано, что решение (8.11) (т. е. разностной схемы) сходится к решению волнового уравнения (8.7) (имеется в виду, что при h → 0 и k → 0 решение разностного уравнения асимптотически приближается к решению дифференциального уравнения), если < 1 или, что то же самое,
k < h. |
(8.15) |
Это условие является достаточным для сходимости, но оно не является необходимым.
Другими словами, существуют уравнения и величины интервалов, при которых (8.15) не выполняется, но все же получается правильный результат.
Однако в общем случае при невыполнении (8.15) нельзя гарантировать сходимость.
Т. о., как только выбрана величина интервала разбиения h в направлении х, то появляется ограничение на величину интервала по времени.
Если необходимо произвести вычисления для большого отрезка t, может потребоваться большое количество шагов по времени.
При > 1 метод становится неустойчивым, как в абсолютном, так и в относительном смысле. Т. е. любые ошибки возрастают в ходе вычисления решения.
Т.о., при решении уравнения (8.7) явными методами условие (8.15) обязательно должно выполняться.
Отличительная особенность всех явных методов: при их использовании должно соблюдаться некоторое условие типа (8.15), обеспечивающее сходимость и устойчивость методов.
Существуют также неявные методы решения гиперболических уравнений, не подверженные неустойчивости.
Обсудим их в следующем параграфе, посвященном решению параболических уравнений. Все основные идеи этого параграфа можно без труда обобщить на случай гиперболических уравнений.