8.0 Ду в частных производных. Постановка задачи

Ограничимся линейными дифференциальными уравнениями второго порядка с двумя независимыми переменными.

Их можно представить в виде

(8.1)

Здесь A  G – функции только независимых переменных x и y. Зависимой переменной является u.

В случае обыкновенных дифференциальных уравнений из семейства решений выбиралось нужное с помощью начального условия.

Теперь, поскольку независимых переменных 2, условия должны задаваться вдоль какой-либо кривой в плоскости xОy.

Условие может налагаться на функцию, ее производную, либо совместно.

Будет кривая замкнутой либо разомкнутой зависит от типа уравнения.

Обычно уравнения второго порядка подразделяют на три типа (см. (8.1)).

1. Уравнение называют эллиптическим, если B² – 4AC< 0.

2. Уравнение называют параболическим, если B² – 4AC = 0.

3. Уравнение называют гиперболическим, если B² – 4AC> 0.

Уравнение может принадлежать к нескольким типам в зависимости от коэффициентов. Уравнение

yu_xx + u_yy = 0

эллиптическое при y > 0, параболическое при y = 0 и гиперболическое при y < 0.

8.1 Ду в частных производных. Эллиптические уравнения

Типичный пример задачи – расчет напряжений при кручении длинного цилиндрического стержня (рис. 8.1).

Обозначим через  угол кручения на единицу длины.

Единственными ненулевыми напряжениями сдвига являются _x и _y (индексы здесь не означают дифференцирование).

Рис. 8.1. К задаче о кручении стержня

Если определить функцию  через уравнения

то функция  является решением уравнения

(8.2)

внутри области R, а на границе области С Можно принять  = 0 на кривой С.

Уравнение (8.2) называют уравнением Пуассона.

Рассмотрим классическую задачу Дирихле

(8.3)

в некоторой области R и на границе этой области (С):

.

(8.4)

Уравнение (8.3) – это уравнение Лапласа (частный случай уравнения Пуассона).

Для простоты рассмотрим случай, когда кривая С состоит из отрезков прямых, параллельных осям Ox и Oy. Рассмотрим прямоугольник шириной L и высотой H (рис. 8.2).

Рис. 8.2. Построение прямоугольной сетки

Введем шаги h = L/n и k = H/m. Получим (n – 1)(m – 1) пересечений. Обозначим

Аналогично запишем

При этом граничное условие (8.4) можно записать в виде

(8.5)

Пусть теперь точка i, j будет точкой x₀, y₀ в выражениях (7.3) и (7.5).

Если обозначить  = k/h, то уравнение Лапласа (8.3) сведется к разностному уравнению вида

(8.6)

для i =1, 2, 3, …, n – 1 и j = 1, 2, 3, …, m – 1.

При  = 1 u_i,j представляет собой среднее арифметическое из четырех соседних узлов.

Уравнение (8.6) можно представить схематически, начертив пять узлов разностного уравнения и обозначив около каждого из них соответствующий коэффициент.

Этот рисунок называется «трафаретом». «Трафарет» геометрически иллюстрирует разностную аппроксимацию дифференциального уравнения (рис. 8.3).

Рис. 8.3. «Трафарет» для уравнения эллиптического типа

Имеем систему (m – 1)(n – 1) уравнений относительно (m + 1)(n + 1) неизвестных.

С помощью граничных условий (8.5) исключаются 2(m + n) неизвестных и их остается ровно (m – 1)(n – 1).

Было показано, что при h → 0 и k → 0 решение разностного уравнения приближается к решению дифференциального уравнения в случае уравнений эллиптического типа.

В случае параболических и гиперболических уравнений необходимо соблюдение некоторых ограничений.

Решение эллиптического разностного уравнения

Примем λ = 1, т. е. h = k (выводы справедливы для любого λ > 0).

Пусть j = 1. Запишем уравнения (8.6) для i = 1, 2, …, n – 1:

Увеличим j: j = 2. Снова запишем уравнения (8.6) для i = 1, 2, …, n – 1:

Продолжая и дальше увеличивать j (конечное значение будет равно m – 1) и проходя i = 1, 2, …, n – 1, получим систему уравнений.

Свойства полученной системы уравнений:

1. Подавляющая часть коэффициентов равна нулю.

2. В каждом уравнении есть коэффициент +4. Если всего ненулевых коэффициентов 5, то сумма остальных равна –4, иначе их сумма равна –2 или –3.

В системе выполнены условия сходимости итерационного метода Гаусса–Зейделя (второе свойство системы). Решение методом исключения переменных нецелесообразно (m и n могут быть порядка сотен).

Выпишем некоторые уравнения для итерационного процесса. Верхними индексами обозначим порядковый номер итерации и примем u⁽⁰⁾_i,j = 0 для всех i, j.

В каждом уравнении (начиная со второго) используется одно значение для текущей итерации, полученное из предыдущего уравнения. Остальные элементы берутся из предыдущей итерации.

Каждая пара i, j (j = 1, ..., m – 1; i = 1, ..., n – 1) определяет узел, в котором уравнение (8.6) решается относительно u_i,j.

Сравниваются значения, полученные на двух последовательных итерациях. Наибольшая разность значений сравнивается с допуском ε, т. е. проверяется, сошелся ли процесс.

Метод Гаусса–Зейделя в применении к эллиптическим разностным уравнениям называют методом Либмана или методом последовательных смещений.

Пока метод Либмана был рассмотрен только для случая уравнения Лапласа. Вообще говоря, любое эллиптическое уравнение без членов, содержащих u_xy, приводит к системе разностных уравнений, удовлетворяющих условиям сходимости.

Все сказанное до сих пор относилось к линейным уравнениям. Вопрос о сходимости для нелинейных уравнений разработан весьма слабо.

Имеется, однако, много успешных попыток решения квазилинейных уравнений с помощью экстраполированного метода Либмана.

Удавалось получить сходимость даже для уравнений с членом типа u_xy, хотя в этом случае нет никаких теоретических оснований ожидать сходимости.