6.7 Оду. Представление о конечных разностях

П о определению, производная функции одной переменной имеет вид

Компьютер не может совершить предельный переход (да и мы тоже, если функция задана таблично!).

Однако мы можем придать h малое (но не нулевое) значение и проверить, получается ли приближение достаточно точным (проблема точности) и не возрастает ли ошибка в ходе вычислений (проблема устойчивости).

Метод сводится к тому, что производная заменяется разностью.

Разность y(x + h) – y(x) называется конечной разностью.

Пример для многочлена y(x) = 8x³ – 2x + 1 приведен в табл. 6.1.

Таблица 6.1 – Таблица разностей для многочлена y(x) = 8x³ – 2x + 1

Разности первого порядка:

Dy(0) = y(0,5) – y(0), Dy(0,5) = y(1) – y(0,5), Dy(1) = y(1,5) – y(1) и т. д.

Если первые разности разделить на величину шага (здесь 0,5), получим грубую оценку производной (тангенса угла наклона касательной) в разных точках.

В общем случае, когда шаг равен h, правая разность первого порядка функции y(x) в точке x = a имеет вид

Dy(a) = y(a + h) – y(a).

В более привычной записи конечная разность функции y(x) в точке x_i:

Dy(x_i ) = y(x_i+1 ) – y(x_i ) = y_i+1 – y_i.

В исчислении разностей рассматриваются и разности второго порядка в точке x_i:

D²y(x_i ) = D (D y(x_i )) = ( y(x_i+2 ) – y(x_i+1 ) ) – ( y(x_i+1 ) – y(x_i ) ) =

= y(x_i+2 ) – 2 y(x_i+1 ) + y(x_i ) = y_i+2 – 2y_i+1 + y_i.

Т . о., приближенно можем записать

Более подробно метод сеток будет рассмотрен в следующей теме.

6.8 Оду. Краевые задачи – введение

До сих пор рассматривались задачи с начальными условиями. Часто бывают даны условия на решение в двух точках.

Иллюстрация приведена на рис. 6.7. Краевые условия имеют вид y(a) = A, y(b) = B.

Рис. 6.7. Геометрическая иллюстрация краевой задачи

Н апример, может быть дано уравнение

и требуется узнать у = у(х) для 0  x  1.

Эта ситуация может быть сведена к предыдущему случаю (т. е. к задаче с начальными условиями) методом проб и ошибок.

Н ачнем с уравнения

и попробуем найти два таких значения ₁ и ₂, чтобы выполнялись следующие соотношения:

Так как для большинства практических задач y(1) есть непрерывная функция , то можно, даже используя грубый метод деления отрезка пополам, за 10 проб уменьшить длину отрезка |₁ – ₂ | в 2¹⁰, т. е. более чем в 1000 раз.

Однако вместо того чтобы сводить краевую задачу к задаче с заданными начальными условиями, нередко выгоднее решать ее непосредственно. На этот счет имеется обширная теория, и мы кратко рассмотрим лишь один пример, чтобы показать некоторые из содержащихся в ней идей.

Рассмотрим уравнение

(6.32)

Прежде всего, аппроксимируем у" второй разностью

,

(6.33)

считая, что интервал 0  x  1 разделен на N интервалов величиной h = 1/N.

Таким образом,

(6.34a)

или

(6.34b)

Получили N – 1 линейных уравнений с N – 1 неизвестными, которые могут быть решены многими различными способами.

В качестве примера рассмотрим один частный случай уравнения (6.32). Положим A = B = 0, f(x) = 1, g(x) = x и N = 4, т. е. уравнение

Р ешение известно:

Разностные уравнения имеют вид (см. (6.34а))

или

Умножим первое из уравнений на 16, второе на 33 и третье на 16 и сложим. Получим

Зная y₂, легко найти у₁ и у₃ из первого и третьего уравнений.

Что можно сделать для уточнения решения? Можно положить N = 8 и, используя вычисленное решение для N = 4, оценить решения для N = 8. Затем, подставляя это решение в правые части восьми уравнений, можно вычислить улучшенные значения и повторять процесс до тех пор, пока не прекратятся изменения.

Число точек можно увеличивать как угодно.

Постановка краевых задач

Пусть дано дифференциальное уравнение второго порядка:

(6.35)

Двухточечная краевая задача для уравнения (6.35) ставится следующим образом: найти функцию y = y(x), которая внутри отрезка [a,b] удовлетворяет уравнению (6.35), а на концах отрезка – краевымусловиям

(6.36)

Краевая задача называется линейной краевой задачей, если уравнение (6.35) и граничные условия (6.36) линейны. При этом дифференциальное уравнение и краевые условия записываются в виде

	(6.37)
	(6.38)

где p(x), q(x), f(x) – известные непрерывные на отрезке [a, b] функции, ₀, ₁, ₀, ₁ , A, B – заданные константы, причем

и

Если A = B = 0, краевые условия (6.38) называют однородными.

Методы приближенного решения краевых задач можно разбить на две группы: разностные и аналитические методы.

Метод конечных разностей для линейных дифференциальных уравнений второго порядка

Пусть x₀ = a, x_n = b, x_i = x₀ + ih (i = 1, 2, …, n – 1) – система равноотстоящих узлов с некоторым шагом h = (b – a)/n и

p_i = p(x_i), q_i = q(x_i), f_i = f(x_i).

Пусть y_i, , – приближенные значения функции y(x) и ее производных , .

Можно приближенно заменить в каждом внутреннем узле производные , конечно-разностными отношениями

.

(6.39)

На концах отрезка примем

.

(6.40)

Теперь можно приближенно заменить уравнение (6.37) и краевые условия (6.38) системой (n+1) уравнений с (n+1) неизвестными:

(6.41)

Более точные формулы получаются при использовании центрально-разностных отношений:

.

(6.42)

Теперь вместо системы (6.41) получаем:

(6.43)

Пример решения уже был рассмотрен.

Оценка погрешности

(6.44)

где y(x_i) – значение точного решения при x = x_i, M₄ = max|y⁽⁴⁾(x)| .

Метод редукции к задаче Коши двухточечной краевой задачи

Рассмотрим на отрезке [a, b] граничную задачу для дифференциального уравнения

(6.45)

с условиями

(6.46)

где p(x), q(x), f(x) – непрерывные на отрезке [a, b] функции.

Решение уравнения (6.45), удовлетворяющее краевым условиям (6.46), будем искать в виде

,

(6.47)

где u = u(x) – решение соответствующего однородного уравнения

(6.48)

а  = (x) – частное решение неоднородного уравнения

(6.49)

Подставим (6.47) в первое условие граничной задачи (6.46), получим

.

(6.50)

Для того чтобы равенство (6.50) было справедливо при любом с, необходимо и достаточно, чтобы сомножитель = 0 и выполнялись следующие равенства:

.

(6.51)

Примем

,

(6.52)

где константа k отлична от нуля.

Если , то

(6.53)

если , то

(6.54)

Видно, что u = u(x) является решением задачи Коши для однородного уравнения (6.48), удовлетворяющим начальным условиям (6.52), а  = (x) – решение задачи Коши для неоднородного уравнения (6.49), удовлетворяющее начальным условиям (6.53) или (6.54).

Теперь подставим (6.47) во второе условие граничной задачи (6.46) и выразим постоянную с

.

(6.55)

При этом предполагается, что . Если выполнено это условие, то краевая задача (6.45) - (6.46) имеет единственное решение, в противном случае она или совсем не имеет решений, или их бесчисленное множество.

Метод коллокации

Решение краевой задачи (6.45), (6.46) ищем в виде

(6.56)

где u_i(x) (i = 0, 1, 2, …, n) – линейно независимые ортогональные функции.

Обозначим

(6.57)

Потребуем, чтобы невязка

(6.58)

обращалась в нуль на некоторой системе точек x₁, x₂, …, x_n отрезка [a, b].

Эти точки называются точками коллокации, их число должно равняться числу коэффициентов c_i в выражении (6.56).

Для определения c_i получаем систему уравнений

(6.59)

Метод коллокации можно применить и для решения нелинейных уравнений c линейными краевыми условиями.

При этом невязка имеет вид

Система (6.59) будет системой нелинейных алгебраических уравнений относительно неизвестных c_i.

Пример

Методом коллокации найти приближенное решение уравнения

c краевыми условиями

y(–1) = y(1) = 0.

Выберем в качестве базисных функций u₀(x) = 0, u₁(x) = 1 – x², u₂(x) = x²(1– x²).

Краевые условия для них выполняются. Решение будем искать в виде

За точки коллокации возьмем x₀ = 0, x₁ = ½.

Составляем невязку R(x):

Подставив x₀ = 0, x₁ = ½, получаем систему

Отсюда находим c₁ = 0,957; c₂ = – 0,022.

Приближенное решение имеет вид

Тема 7

Метод конечных разностей (метод сеток) численного решения дифференциальных уравнений

Метод сеток, или метод конечных разностей – один из самых распространенных методов численного решения уравнений с частными производными.

В основе – идея замены производных конечно-разностными отношениями.

Ограничимся случаем двух независимых переменных.

Пусть в плоскости xOy имеется некоторая область G с границей Г (рис. 7.1).

Рис. 7.1. Построение сетки

Построим два семейства параллельных прямых:

Точки пересечения прямых называют узлами.

Два узла называют соседними, если они удалены вдоль оси Ox или Oy на шаг сетки h или k соответственно.

Узлы, принадлежащие G + Г и расположенные вне этой области на расстоянии, меньшем, чем шаг от Г, называют внутренними.

Оставшиеся из выделенных – граничные.

Рассмотрим сначала разности в направлении x.

Разложим функцию u = u(x, y₀) в ряд Тейлора в окрестности точки x₀, y₀:

где  лежит между x и x₀.

Если положить x = x₀ + h, то можно получить следующее выражение

Т. е. если представить u_x с помощью

(7.1)

то ошибка ограничения будет равна

Равенство (7.1) получено с помощью подстановки x = x₀ + h, результат называется правой разностью.

Аналогично можно получить левую разность:

(7.2)

Приближение для второй производной u_xx через правую разность:

(7.3)

Если в выражение (7.3) подставить правые разности для u_x, весь результат окажется «сдвинут» вправо. Для компенсации используем левые разности для u_x. Получим

(7.4)

Можно отметить симметрию полученной формулы относительно x₀, y₀.

Для определения ошибки ограничения вспомним, что

Положим теперь x = x₀ + h; x = x₀ – h и сложим два равенства. Получится, что ошибка ограничения равна

Аналогичный анализ проводится для производных в направлении y:

(7.5)

Здесь k – величина шага по y.

Ошибка ограничения равна

С использованием полученных выражений можно полностью переписать дифференциальное уравнение в частных производных и перейти к уравнению в конечных разностях.

Например, уравнение Лапласа

можно переписать в виде

Тема 8

Решение дифференциальных уравнений в частных производных