1. Постановка проблемы

Первоначально прикладная задача бывает сформулирована в самом общем виде: исследовать некоторое явление, спроектировать устройство, обладающее заданными свойствами, дать прогноз поведения некоторого объекта в определенных условиях и т. д.

На данной стадии происходит конкретизация постановки задачи, внимание – выяснению цели исследования.

Требуется:

• глубокое понимание существа задачи;

• умение сформулировать ее так, чтобы найденное решение было полезным и в то же время могло быть получено с помощью существующих методов и в реальные сроки;

• умение избегать бесполезных или тривиальных результатов.

2. Выбор или построение математической модели

• Для последующего анализа исследуемого явления или объекта необходимо дать его формализованное описание на языке математики, т. е. построить математическую модель.

• Часто есть возможность выбора модели среди известных и принятых для описания соответствующих процессов.

• Нередко требуется и существенная модификация известной модели, иногда возникает необходимость в построении принципиально новой модели.

• Существенная трудность: противоречие между желанием сделать модель как можно более полной (усложнение модели) и необходимостью иметь достаточно простую модель (чтобы была возможность реализовать ее на ЭВМ).

• Важно, чтобы сложность математической модели соответствовала сложности поставленной проблемы. Предпочтение надо отдать более простой математической модели. Грамотное упрощение модели – непростая задача.

3. Постановка вычислительной задачи

На основе принятой математической модели формулируют вычислительную задачу (или ряд таких задач).

4. Предварительный анализ свойств вычислительной задачи

На этом этапе проводят предварительное (предмашинное) исследование свойств вычислительной задачи. Внимание уделяют анализу корректности ее постановки, т. е. выяснению вопросов существования и единственности решения, а также исследованию устойчивости решения задачи к погрешностям входных данных.

Такое исследование, как правило, относится к компетенции профессиональных математиков.

Для многих имеющих практическую ценность задач их строгое исследование в полной постановке провести не удается, и к решению приступают без детального анализа математических свойств этих задач. Это вынужденная мера, т. к. в прикладных исследованиях существенное значение имеют конкретные (часто – весьма сжатые) сроки получения результата. Полезным оказывается изучение упрощенных постановок задачи.

5. Выбор или построение численного метода

Для решения вычислительной задачи на ЭВМ требуется использование численных методов.

Часто решение задачи сводится к последовательному решению стандартных вычислительных задач, для которых разработаны эффективные численные методы.

Происходит либо выбор среди известных методов, либо их адаптация к особенностям решаемой задачи.

Если возникающая вычислительная задача является новой, не исключено, что для ее решения нет готовых методов.

Умение различать две отмеченные ситуации говорит об определенной квалификации в области вычислительных методов.

Обычно может быть использовано несколько методов. Необходимо знать особенности этих методов, критерии, по которым оценивается их качество, чтобы выбрать метод, позволяющий решить проблему наиболее эффективным образом.