6.5 Обыкновенные ду. Сравнение методов

Мы уже отмечали сравнительные достоинства и недостатки одноступенчатых методов (Рунге–Кутты) и многоступенчатых методов (прогноза и коррекции).

В этом разделе мы дадим сводку характеристик этих методов и предложим способ их сочетания, воспользовавшись достоинствами каждого из них.

Методы Рунге–Кутты

1. Поскольку в методах Рунге–Кутты используется информация только об очередной точке решения и не используется информация о ранее найденных точках, то с помощью этих методов можно начинать решение уравнения (методы являются самостартующими).

2. По той же самой причине, однако, при использовании этих методов приходится многократно вычислять функцию f(x, y) и затрачивать на это много машинного времени.

3. Используя информацию только об очередной точке решения, эти методы позволяют очень легко менять величину шага h.

4. При использовании этих методов весьма трудно получить оценку для ошибки ограничения.

Методы прогноза и коррекции

Их свойства дополнительны к свойствам методов Рунге–Кутты.

1. В этих методах используется информация о ранее вычисленных точках решения, поэтому с их помощью нельзя начать решение уравнения.

2. Поскольку в этих методах вместо вычисления f(х, у) используется информация о ранее вычисленных точках, то они более экономичны в смысле затрат машинного времени (за исключением, конечно, тех случаев, когда величина шага h слишком велика и требуется много итераций по формуле коррекции).

3. За исключением специальных случаев, не представляющих практического интереса, при любом изменении величины шага h приходится временно возвращаться к методам Рунге–Кутты.

4. В качестве побочного продукта вычислений получается хорошая оценка ошибки ограничения.

Можно предложить следующий путь сочетания двух методов.

1. Начать решение с помощью метода Рунге–Кутты, например, по формуле (6.23) и найти y₁.

2. Для вычисления следующих y_m использовать прогноз (6.24) и коррекцию (6.25).

3. Если для вычисления очередного значения y_i требуется более двух итераций или если ошибка ограничения (см. (6.31)) слишком велика, надо уменьшить величину шага h (см. пункт 4). Если же ошибка ограничения слишком мала, то величину шага можно увеличить.

4. Чтобы изменить величину шага, примем последнее значение у_i, которое еще было вычислено достаточно точно, за исходное. Решение уравнения придется снова начать с новой исходной точки методом Рунге–Кутты и только затем снова перейти к методу прогноза и коррекции.

5. В любом случае, когда с помощью формулы коррекции вычислено очередное значение у⁽ⁱ⁾_m, окончательное значение y_m следует рассчитывать по формуле (6.31).

6.6 Оду. Влияние неточности исходной информации

Невозможно в рамках этого курса проанализировать все возможные случаи влияния неточности параметров исходного ДУ или начального условия.

Пример

Дано уравнение при начальном условии y(0) = 1.

Точное решение имеет вид y = x + 1 .

Предположим, что начальное условие задано с точностью 1 %.

Тогда решение будет в пределах от y⁽¹⁾ = 0,01e^x + x + 1 до y⁽²⁾ = –0,01e^x + x + 1.

Легко проверить, что при x = 5 ошибка в определении y может достичь 0,01e⁵, или около 25 %, тогда как ошибка в начальном условии была всего 1 %. Относительная ошибка быстро растет с ростом х.

Никакой численный метод не даст решения этого уравнения с точностью выше 25 % при х = 5, т. к. ошибка заложена уже в исходной информации.

Это один из примеров неустойчивости решения.