6.0 Введение

Уравнения, содержащие производную функции одной переменной, возникают во многих областях прикладной математики и физики.

Любая физическая ситуация, где рассматривается степень изменения одной переменной по отношению к другой переменной, описывается дифференциальным уравнением (далее – ДУ).

Рассмотрим простой пример. Степень изменения y по отношению к x пропорциональна у:

или .

(6.1)

Решение хорошо известно:

y = ae^x,

где а – произвольная постоянная. При различных значениях а получается семейство кривых, удовлетворяющих уравнению (6.1).

Если помимо уравнения задано значение y для какого-либо значения x, можно найти константу a. Пусть, например, решение уравнения (6.1) должно проходить через точку x = 0, y = 1. Это обычно записывают в виде y(0) = 1. При этом условии а = 1, так что решение уравнения (6.1) имеет вид

y = e^x.

Найдено немало методов решения дифференциальных уравнений, однако очень часто встречаются задачи, для решения которых методов либо нет, либо затраты труда на получение аналитического решения абсолютно не оправданы.

Например, с виду простое уравнение

y' = x² + y²

не имеет элементарного решения.

В общем случае задача ставится следующим образом.

Обыкновенным дифференциальным уравнением порядка n называют уравнение

,

(6.2)

которое связывает независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные y‘(x), …, y⁽ⁿ⁾(x).

Общее решение уравнения (6.2) зависит от n произвольных постоянных.

Большое значение имеют два рода задач, связанных с определением частных решений уравнения (6.2):

задачи Коши, или задачи с начальными условиями, и граничные задачи.

Задача Коши состоит в нахождении решения y = y(x), удовлетворяющего начальным условиям

,

(6.3)

где – заданные числа.

Условия (6.3) для задачи Коши задаются в одной точке.

Для граничных задач дополнительные условия задаются не в одной, а в нескольких точках.

Численные методы используются в задачах, имеющих единственное решение (т. е. корректно поставленных).

В некоторых случаях условий корректности может оказаться недостаточно.

Необходимо, чтобы задача была хорошо обусловлена (устойчива), т. е. малые изменения в задании исходных данных приводили к достаточно малым изменениям искомого решения.

6.1 Обыкновенные ду. Метод Эйлера

Метод Эйлера – один из самых простых методов численного решения дифференциальных уравнений. Его недостаток – сравнительно низкая точность.

Пусть дано дифференциальное уравнение

(6.4)

с начальным условием

.

(6.5)

Численное решение задачи Коши (6.4)-(6.5) состоит в том, чтобы получить искомое решение y = y(x) в виде таблицы его приближенных значений для заданных значений аргумента x на некотором отрезке [a, b]: а = x₀ < x ₁< ... < x_n = b. Точки называются узловыми точками, а множество этих точек называют сеткой на [a, b].

Выбираем малый шаг h и на отрезке [a, b] строим систему равноотстоящих точек:

, (i = 0, 1, 2,…, n).

(6.6)

В методе Эйлера искомая интегральная кривая y = y(x), проходящая через точку (x₀,y₀), приближенно заменяется ломаной с вершинами (x_i,y_i) , звенья которой прямолинейны между прямыми и имеют подъем с начальным условием

.

(6.7)

Таким образом, каждое значение y_i+1 можно найти по формуле

, (i = 0, 1, 2,…, n).

(6.8)

Идея метода проиллюстрирована на рис. 6.1.

Рис. 6.1 а. Геометрическое представление метода Эйлера	Рис. 6.1 б. Последовательное построение точек фнукции по методу Эйлера

В результате получим совокупность значений численного решения задачи Коши.

В каждом узле x_i имеем y_i  y( x_i ), (i = 0, 1, 2,…, n).

Причем для любого численного метода начальные условия задачи Коши выполняются точно, т. е. y( x₀ ) = y₀ .

Метод Эйлера может применяться для решения обыкновенных дифференциальных уравнений высших порядков и для систем дифференциальных уравнений.

Р ассмотрим систему дифференциальных уравнений первого порядка

с начальными условиями .

Решения задачи Коши для данной системы уравнений можно получить, используя следующие формулы:

Д ифференциальные уравнения более высокого порядка можно решить с помощью метода Эйлера путем понижения порядка уравнения (с помощью замены).

Пусть дано дифференциальное уравнение .

Делаем замену ,

в результате чего дифференциальное уравнение порядка m преобразуется в систему уравнений первого порядка:

Пример

Найти решение задачи Коши , на отрезке [1; 1,5].

Применим метод Эйлера.

Сделав замену переменных понизим порядок уравнения. Из исходного уравнения получаем систему дифференциальных уравнений первого порядка

с начальными условиями .

Соответствующие формулы метода Эйлера имеют вид:

где .

Интервал [1; 1,5] разобьем на 5 точек с шагом разбиения .

Метод Эйлера в «чистом» виде применяется редко, однако при дальнейшем рассмотрении мы будем на него ссылаться.