5.4 Формула Гаусса

Пусть необходимо вычислить интеграл вида .

Квадратурная формула Гаусса имеет вид:

,

(5.5)

где

, (i = 1, 2,…, n),

(5.6)

t_i – нули полинома Лежандра P_n(t), т. е. P_n(t_i) = 0.

Для коэффициентов A_i и узлов t_i существуют справочные таблицы (см. табл. 5.1).

Формула Гаусса обеспечивает наивысшую точность в том смысле, что для полиномов степени не выше 2n – 1 она точна.

Таблица 5.1 – Коэффициенты A_i и узлы t_i для численного интегрирования по формуле Гаусса

n	i	ti	Ai
1	1	0	2
2	1; 2	0,57735027	1
4	3	1; 3 2	0,77459667 0
5	1; 5 2; 4 3	0,90617985 0,53846931 0	0,23692688 0,47862868 0,56888889
6	1; 6 2; 5 3; 4	0,93246951 0,66120939 0,23861919	0,17132450 0,36076158 0,46791394
7	1; 7 2; 6 3; 5 4	0,94910791 0,74153119 0,40584515 0	0,12948496 0,27970540 0,31183006 0,41795918
8	1; 8 2; 7 3; 6 4; 5	0,96028986 0,79666648 0,52553242 0,18343464	0,10122854 0,22238104 0,31370664 0,36268379

Пример

Применяя квадратурную формулу Гаусса, вычислить интеграл .

Разобьем интервал [1, 2] на n = 5 точек и для вычисления интеграла воспользуемся полиномом Лежандра 5-й степени: .

Делаем замену переменной , где – корни (нули) полинома Лежандра , т. е. .

Из табл. 5.1 возьмем значения корней и коэффициентов A_i:

Далее вычислим значение подынтегральной функции :

Согласно формуле (5.5):

.

5.5 Связь формул интегрирования

Запишем здесь еще раз коэффициенты Котеса и соотношения для них и рассмотрим два частных случая.

Случай -n =1 (Формула трапеций)

, , .

(5.7)

Из соотношений (5.7) получаем H₀ + H₁ = 1; H₀ = H₁, откуда следует

H₀ = H₁ = 1/2 .

Случай n =2 (Формула Симпсона)

5.6 Численное интегрирование. Сравнение методов

Приблизительно справедливы следующие утверждения:

1. Формула Симпсона при n ординатах дает примерно ту же точность, что формула трапеций при 2n ординатах.

2. Метод Гаусса при n ординатах дает примерно ту же точность, что формула Симпсона при 2n ординатах.

Метод Гаусса «сам» подбирает интервалы разбиения для достижения максимальной точности. В случае работы с экспериментальными данными это недостижимо.

Формула Симпсона «работает» только при одинаковых интервалах разбиения.

При произвольных интервалах «работает» только формула трапеций.

На практике чаще всего применяется формула Симпсона.

5.7 Численное интегрирование – «подводные камни»

Рассмотрим интеграл:

.

Он берется аналитически и его точное значение 4,00.

При численном интегрировании по формуле трапеций при разбиении на 10 интервалов результат равен 5,3.

Даже при разбиении на 40 интервалов получаем 4,13, т. е. ошибка около 3 %.

Причины: особенность поведения функции при малых х, неточность формулы численного интегрирования.

Т. к. функция «вогнутая», значения интеграла завышены.

Тема 6

Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений