5.1 Формула трапеций

Имеем набор точек a = x₀ , x₁ , … , x_n = b и соответствующие значения функции y₀ , y₁ , … , y_n.

Рассмотрим отрезок [x_i, x_i+1]. Имеем:

.

Таким образом, в пределах каждого интервала [x_i, x_i+1] исходная функция заменяется интерполяционным полиномом Лагранжа первой степени, что соответствует замене кривой на секущую (рис. 5.1). Значение интеграла (т. е. площади криволинейной фигуры) заменяется площадью трапеции. Неучитываемая площадь R – погрешность метода.

Суммирование значений интеграла по всем n участкам разбиения дает общую площадь, т. е. приближенное значение интеграла. При этом все значения функции, кроме первого и последнего, учитываются дважды:

.

(5.2)

В случае, когда известен явный вид подынтегральной функции, можно произвести оценку погрешности.

Погрешность формулы трапеций:

.

Формула трапеций точна для линейной f(x), т. к. тогда

Рис. 5.1. К методу трапеций. Показан один интервал сетки

5.2 Формула Симпсона

При замене подынтегральной функции интерполяционным полиномом второй степени и четном числе интервалов разбиения получаем формулу Симпсона. Ее геометрический смысл следующий.

Через три последовательные ординаты разбиения проводится парабола. Определяется площадь полученной фигуры.

Сумма всех построенных таким образом фигур дает приближенное значение интеграла (рис. 5.2).

Рис. 5.2. К методу Симпсона. Показана парабола, проведенная через три точки

Проведем дополнительное построение. Пусть парабола проходит через точки y(-h), y(0) и y(h) (рис. 5.3). Уравнение параболы: y = A + Bx + Cx².

Интеграл равен

Рис. 5.3. Вспомогательное построение к методу Симпсона.

Найдем теперь коэффициенты параболы.

Для точек с ординатами – h, 0 и h имеем

Искомый интеграл был равен .

Имеем:

Таким образом, площадь трапеции, ограниченной с одного края параболой, равна

Учтем, что величина площади не зависит от перемещения фигуры вдоль числовой оси 0x.

Окончательно для отрезка [a, b] получаем формулу Симпсона (формулу парабол):

.

(5.3)

Значения функции f(x) в нечетных точках разбиения входят в формулу с коэффициентом 4, в четных точках – с коэффициентом 2, а в граничныхточках x₀ = a, x_n= b – с коэффициентом 1.

Важно отметить, что формула Симпсона «работает», когда

1. разбиение сделано на равные отрезки;

2. число отрезков разбиения четное, т. е. число узлов равно 2k + 1.

Погрешность формулы Симпсона:

.

Формула Симпсона точна для полиномов не выше третьей степени, т. к. для них f^IV(x) = 0.

5.3 Формула Ньютона–Котеса

Формула Ньютона–Котеса:

.

(5.4)

Здесь

, i = 0, 1, 2,…, n

– коэффициенты Ньютона–Котеса, – шаг разбиения интервала [a, b] на n точек.

Для коэффициентов Ньютона–Котеса справедливы следующие соотношения:

1. ;

2. .

Недостатком метода Ньютона–Котеса является то, что при больших n в формуле (5.4) будут встречаться как положительные, так и отрицательные коэффициенты H_i, превосходящие по абсолютной величине достаточно большое число.

При больших n могут появиться большие погрешности при вычислении интегралов. Поэтому формулы Ньютона–Котеса малопригодны для вычислений, когда число узлов n велико.

Пример

Вычислить интеграл методом Ньютона–Котеса.

Интервал [1, 2] разобьем на n = 5 интервалов, шаг разбиения .

Тогда, согласно формуле (5.4), будем иметь

.

По свойствам коэффициентов Ньютона–Котеса

Далее вычислим значения подынтегральной функции в точках x_i, i = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Учитывая свойства коэффициентов Ньютона–Котеса, можем записать