4.4 Интерполирование – примеры и «подводные камни»

Вопрос о том, какой тип интерполяции применять, можно ли применять интерполяцию вообще, определяется природой задачи.

На рис. 4.5 показана интерполяция сплайном, тогда как уместнее было бы интерполировать полиномами первого порядка (т. е. построить ломаную линию).

Р ис. 4.5. Пример неудачного интерполирования сплайнами. Впрочем, может быть, какое-то явление описывается такой кривой?

На рис. 4.6 приведен пример опасности интерполяции, когда изучаемая величина измерена на сетке со слишком большим шагом. Приведены реальные данные по общему содержанию озона (ОСО) в стратосфере в августе 2009 г. Шаг по времени составлял одни сутки. На рис. 4.6а умышленно исключено значение для 5-го августа и показано, что дала бы в этом случае линейная интерполяция.

а	б
Рис. 4.6. Значения общего содержания озона над Минском в единицах Добсона для первых чисел августа 2009 г.: а – удалено значение для 5 августа и показан результат линейной интерполяции; б – истинный ход ОСО. Данные взяты с сайта ftp://toms.gsfc.nasa.gov

4.5 Сглаживание данных (скользящее среднее)

Неточные данные можно представлять как сумму «истинного» значения f(x_i) и статистической ошибки e_i:

y_i = f(x_i) + e_i.

В случае, если разброс данных вызван большими неточностями измерений, цель сглаживания – уменьшить (насколько возможно) ошибки e_i.

Если же большие изменения данных вызваны самой природой измеряемой величины, сглаживание можно применять для наглядного выявления тенденции в изменениях величины.

В статистике, экономике, биологии и др. используются скользящие средние. Часто это делается по 5-ти точкам. В таком случае сглаженное значение Y_i в точке i имеет вид:

Свойства скользящих средних (знаками «+» и «–» отмечены достоинства и недостатки соответственно):

1. Уменьшают нерегулярность колебаний в ряде (+).

2. Смещают сглаженные значения (–).

3. Не дают начальные и конечные значения ряда («съедают» их) (–). В частности, при сглаживании скользящим средним по пяти точкам «пропадают» два первых и два последних значения.

На рис. 4.7 приведены данные по общему содержанию озона над Минском в 2005 г. Измеряемая величина в силу самой своей природы отличается большой изменчивостью. Выполненное сглаживание позволяет сравнивать общий ход ОСО в разные годы.

Рис. 4.7. Значения общего содержания озона над Минском в единицах Добсона в 2005 г. и сглаживающая кривая. Данные взяты с сайта ftp://toms.gsfc.nasa.gov

Тема 5

Численное интегрирование

5.0 Постановка задачи

Имеется функция f(x), непосредственное интегрирование которой затруднительно либо потому, что функция задана таблично, либо из-за сложности самой функции.

Функцию f(x) на рассматриваемом отрезке [а, b] заменяют интерполирующей или аппроксимирующей функцией (х) простого вида (например, полиномом), а затем приближенно полагают:

.

(5.1)

Функция φ(х) должна быть такова, чтобы интеграл от нее вычислялся непосредственно.

Если функция f(x) задана аналитически, то ставится вопрос об оценке погрешности формулы (5.1).

Необходимо ясно различать две ситуации:

1. Явный вид функции f(x) неизвестен, функция f(x) задана таблично.

2. Явный вид функции f(x) известен, однако она слишком сложна, чтобы найти

интеграл от нее аналитически.

Рассмотрим сначала первую ситуацию – функция f(x) задана таблично.

Необходимо найти от нее интеграл, вопрос об оценке погрешности не ставится.