4.1 Интерполирование полиномами

Линейную комбинацию

(4.3)

с действительными коэффициентами c_i называют обобщенным многочленом (полиномом) по системе функций {_i(x)}, i = 0, 1, …, n.

На практике чаще всего используются следующие системы:

1) 1, x, x², …, xⁿ, … – алгебраическая интерполяция;

2) 1, sin x, cos x, …, sin nx, cos nx, … – тригонометрическая интерполяция (применяется для приближения периодических функций);

3) – экспоненциальная интерполяция (где _i – некоторая числовая последовательность попарно различных действительных чисел).

Рассмотрим интерполирование функции f(x) полиномом Q_n(x) степени не выше n, удовлетворяющим условию (4.2), т. е. таким, что

(4.4)

Такой полином называется интерполяционным.

К ак известно, существует единственный полином вида

степени не выше n, принимающий в точках x₀ , x₁ , x₂ , … , x_n заданные значения.

Коэффициенты а_i полинома Q_n (x) можно определить из следующей системы уравнений:

(4.5)

где .

Определителем этой системы является определитель Вандермонда:

О н отличен от нуля при всяких различных между собой x_i, следовательно, интерполяционный многочлен существует и он единственный.

Как для произвольно заданных узлов интерполирования, так и для равномерно отстоящих узлов применяется интерполяционная формула Лагранжа:

(4.6)

При n = 1 (линейная интерполяция) формула (4.6) представляет собой уравнение прямой y = L₁(x), проходящей через две заданные точки (x₀, y₀), (x₁, y₁):

(4.7)

При n = 2 (квадратичная интерполяция) формула (4.6) представляет собой уравнение параболы y = L₂(x), проходящей через три заданные точки (x₀, y₀), (x₁, y₁) и (x₂, y₂):

(4.8)

Разность называется погрешностью интерполяции, или остаточным членом интерполяции.

В узлах интерполяции погрешность = 0, в остальных точках она отлична от нуля.

Если f(x) имеет непрерывную (n + 1) производную, то возможно представление остаточного члена интерполяции в виде

(4.9)

г де  зависит от x и лежит внутри отрезка [a, b] (a = x₀ < x₁ < ... x_n = b).

Формула (4.9) справедлива для всех точек отрезка [a, b], в том числе и для узлов интерполирования.

Принимая , получим оценку погрешности интерполяции в текущей точке :

(4.10)

Оценка максимальной погрешности интерполяции на всем отрезке [a, b]:

(4.11)

Пример 1

Построить интерполяционный полином Лагранжа для функции на , если С помощью интерполяционной формулы вычислить и оценить погрешность.

Имеем три узла интерполяции:

Т. к. n = 2, то строим полином второй степени L₂(x).

Воспользуемся формулой (4.8).

.

Погрешность интерполяции оценим, используя формулу (4.10):

;

;

;

;

.

Получим следующую оценку:

.

Используя полученный интерполяционный полином L₂(x), вычислим

Таким образом,

.

(Более точное значение ).

Пример 2

Дана таблица значений y = f(x).

Найти значение f(3,30).

Чтобы найти значение в любой промежуточной точке, необходимо построить

интерполяционный полином по табличным данным. Построим полином Лагранжа

для n = 3 (i = 0, 1, …, n).

.

Итак, интерполяционный полином Лагранжа для заданных табличных данных имеет следующий вид:

.

Для нахождения значения f(3,30) используем полученный полином Лагранжа, т. е.

.