Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования «Международный государственный экологический университет имени А. Д. Сахарова»

Факультет мониторинга окружающей среды

Кафедра экологических информационных систем

Н. Б. Борковский Математические методы в экологии

Часть I. Численные методы

Учебное пособие для студентов специальностей «Информационные системы и технологии (по направлениям)»,

«Природоохранная деятельность»

Минск 2014

Выхолощенное и формализованное преподавание математики на всех уровнях сделалось, к несчастью, системой.

Наиболее характерными приметами формализованного преподавания является изобилие немотивированных определений и непонятных (хотя логически безупречных) доказательств. Отсутствие примеров, отсутствие анализа чертежей и рисунков – столь же постоянный недостаток математических текстов, как и отсутствие внематематических приложений и мотивировок понятий математики.

Владимир Игоревич Арнольд (1937–2010) ­– академик РАН, почетный член Лондонского математического общества, иностранный член Парижской АН, член Американского философского общества, Американской академии искусств и наук, Лондонского королевского общества, Accademia dei Lincei в Риме, почетный доктор университетов Пьера и Мари Кюри (Париж), Варвика (Ковентри), Утрехта, Болоньи, Торонто.

Цель расчетов – не числа, а понимание.

Р. Хемминг, лауреат премии Тьюринга

Введение 5

Тема 1 9

Приближенные числа. Погрешности 9

1.0 Источники приближенных чисел 9

1.1 Источники и классификация погрешностей 9

1.2Абсолютная и относительная погрешности вычисления 10

1.3 Погрешности арифметическихопераций 11

1.4Обратная задача теории погрешностей 12

Тема 2 14

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений 14

2.0 Постановка задачи 14

2.1 Метод половинного деления (метод «вилки», метод дихотомии) 17

2.2 Метод Ньютона (метод касательных) 18

2.3 Метод хорд (метод пропорциональных частей) 22

2.4 Метод итерации (метод последовательных приближений) 24

Тема 3 30

Решение систем линейных и нелинейных уравнений 30

3.0 Постановка задачи 30

3.1 Решение систем линейных уравнений методом итерации 30

3.2 Решение систем нелинейных уравнений методом итерации 34

3.3 Решение систем линейных уравнений – «подводные камни» 37

Teмa 4 38

Приближение функций 38

4.0 Интеполирование – постановка задачи 38

4.1 Интерполирование полиномами 39

4.2 Аппроксимация функций. Метод наименьших квадратов 43

4.3 Интерполирование сплайнами 48

4.4 Интерполирование– примеры и «подводные камни» 51

4.5 Сглаживание данных (скользящее среднее) 52

Teмa 5 54

Численное интегрирование 54

5.0 Постановка задачи 54

5.1 Формула трапеций 54

5.2 Формула Симпсона 55

5.3Формула Ньютона – Котеса 57

5.4 Формула Гаусса 59

5.5 Связь формул интегрирования 61

5.6 Численное интегрирование. Сравнение методов 62

5.7 Численное интегрирование – “подводные камни” 62

Тема 6 63

Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений 63

6.1 Обыкновенные ДУ. Метод Эйлера 64

6.2 Обыкновенные ДУ. Основные методы решения 68

6.3 Обыкновенные ДУ. Методы прогноза и коррекции 76

6.5 Обыкновенные ДУ. Сравнение методов 82

6.6 ОДУ. Влияние неточности исходной информации 83

6.7 ОДУ. Представление о конечных разностях 84

6.7 ОДУ. Краевые задачи – введение 85

Тема 7 92

Метод конечных разностей (метод сеток) численного решения дифференциальных уравнений 92

Тема 8 95

Решение дифференциальных уравнений в частных производных 95

8.0 ДУ в частных производных. Постановка задачи 95

8.1 ДУ в частных производных. Эллиптические уравнения 95

8.2 ДУ в частных производных. Гиперболические уравнения 100

8.3 ДУ в частных производных. Параболические уравнения 102

Тема 9 105

Методы безусловнойоптимизации 105

9.0 Методы безусловной оптимизации. Введение 105

9.1 Методы безусловной оптимизации. Классификация методов 109

9.2 Методы безусловной оптимизации нулевого порядка 110

9.3 Методы безусловной оптимизации первого порядка 115

9.4 Методы оптимизации второго порядка 118

Тема 10 121

Метод Монте–Карло 121

10.0 Метод Монте–Карло. Некоторые задачи 121

10.1 Проблема получения случайных чисел 123

10.2 Общая схема метода 124

10.3 Метод Монте–Карло. Пример 125

10.4 Вычисление кратных интегралов 127

Введение

Д. Пойа в своей книге «Как решать задачу» показывает, как важно понять условия. Автор этой книги в результате многолетней практики вычислений на заказчика пришел к убеждению, что обычно первым делом следует подумать: «А что мы собираемся делать с ответом?»

Будут ли вычисленные величины действительно отвечать на вопрос, который нам задан?

Все ли они нам нужны?

Может быть, нужны еще какие-нибудь?

Может быть, что-нибудь другое дает лучшие основания для понимания?

С начала «компьютерной революции» разработаны целые библиотеки стандартных процедур, реализующих все основные вычислительные алгоритмы. За человеком остаются функции: постановка задач, выбор методов решения и интерпретация результатов.

Основные правила, определяющие искусство вычислять:

• Использование всей доступной информации о задаче.

• Тестирование решения на предельных случаях.

• Анализ устойчивости решения.

• Анализ пределов применимости решения.

С определенной степенью условности процесс решения задачи можно разбить на ряд последовательных этапов.