Нахождение промежутков выпуклости и вогнутости функции и точек перегиба.

Промежутки вогнутости и выпуклости функции находятся при решении неравенств

и соответственно.

Находим нули числителя:

Находим нули знаменателя:

Наносим эти точки на числовую ось и определяем знак двойной производной внутри каждого полученного промежутка.

+

Следовательно, функция выпукла на промежутке

(0; ] и вогнута на промежутке [ ; +∞), при этом точка, соответствующая x = , является точкой перегиба функции.

Нахождение асимптот функции

У функции отсутствуют вертикальные асимптоты.

Найдем наклонную асимптоту .

…

Воспользуемся правилом Лопиталя и найдем производные числителя и знаменателя.

.

Поскольку коэффициент k равен бесконечности, наклонных асимптот у данной функции не существует.

Построение графика функции.

Вручную:

С помощью компьютера: