progr_dm

ПРОГРАММА КУРСА "ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА"

специальность - прикладная математика 1, 2 семестры 68 ч. лекций, 34 часа практических занятий, экзамен - 2 семестр,

текущий контроль - две контрольные работы в семестр.

1.Алгебра высказываний. Понятие о высказывании. Операции над высказываниями. Формулы алгебры высказываний. Равносильность в алгебре высказываний. Булева алгебра высказываний. Двойственность в алгебре высказываний. Принцип двойственности и закон двойственности. Нормальные формы алгебры высказываний. СДНФ и СКНФ. Основные проблемы алгебры высказываний. Критерии тождественной истинности и тождественной ложности.

2.Теория Р-К схем и схем из функциональных элементов. Реле и его функция проводимости. Схемы и их функции проводимости. Основные задачи теории РКС : задача синтеза, задача анализа и задача упрощения. Машина голосования. Одноразрядный и многоразрядный двоичный сумматор.

3.Алгебра предикатов. Понятие о многоместном предикате. Логические операции над предикатами. Равносильность в алгебре предикатов. Булева алгебра предикатов. Операции, уменьшающие местность предиката, кванторы. Основные равносильности, содержащие кванторы. Кванторы как обобщение логических операций. Применение языка предикатов и кванторов для записи математических утверждений.

4.Алгебра множеств. Множества и определяющие их предикаты. Универсум и пустое множество. Операции над множествами и их свойства. Булева алгебра множеств. Подмножество. Свойства подмножеств. Семейства множеств и операции над семействами.

5.Отображения. Понятие об отображении. Образы и прообразы и их свойства. Основные типы отображений. Композиция отображений. Ассоциативность композиции. Композиция однотипных отображений. Обратимость и односторонняя обратимость. Критерии обратимости и односторонней обратимости.

6.Отношения. Декартово произведение множеств. Многоместные отношения. Булевы операции над отношениями. Булева алгебра отношений. Двуместные отношения. Композиция двуместных отношений. Бинарные отношения. Свойства бинарных отношений: рефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность. Отношения эквивалентности. Классы эквивалентности и их свойства. Фактор-множество. Система различных представителей. Отношения порядка. Упорядоченные , линейно-упорядоченные и частично-упорядоченные множества.

7.Комбинаторика. Основной принцип комбинаторики. Число элементов во множестве. A B , формула включения-исключения,

n

Ai , X Y , Y X , 2 X , InY X , BiY X , surY X , множества AXm , PX , CXm .

i 1

Формулы для Anm , Pn , Cnm . Сочетания с повторениями. Свойства биномиальных коэффициентов. Бином Ньютона. Аддитивное представление для n! и nm (1 m n) .

8.Булевы функции. Множества P2 , P2 (n) . Многочлены Жегалкина и их свойства. Замыкание и его свойства. Замкнутость, полнота. Классы Поста и их свойства. Леммы о функциях, не принадлежащих классам Поста. Теорема Поста и следствия из неѐ. Предполные классы и их свойства. Существование предполных классов.

9.Теория алгоритмов. Понятие об алгоритме, черты (свойства) алгоритмов. Алфавит, буквы, слова. Запись слова на бесконечной ленте. Операции над словами. Машина Тьюринга - описание и примеры. Композиция машин.

Машины с полулентами и теоремы о них. Объединение машин,

разветвление машин, итерация машин. Универсальный алфавит и универсальная машина. Тьрингов подход к понятию "алгоритм" и другие подходы. Алгоритмически разрешимые и неразрешимые проблемы. Существование алгоритмически неразрешимых проблем.

10.Элементы теории графов. Общее определение оргграфа. Изоморфизм графов. Геометрические графы. Теорема о правильной реализации графа в трехмерном пространстве. Плоские и неплоские графы. Локальные характеристики графа. Теорема Эйлера о рукопожатиях. Части графа. Пути, цепи, контуры, циклы. Компоненты. Числа связности. Мосты и точки сочленения. Теорема о мостах. Деревья и леса. Цикломатичекое число графа - размерность пространства вектор-циклов. Разрезы графа. Пространство вектор-разрезов графа и его размерность. Теорема о ранге матрицы инцидентности графа. Соотношение ортогональности. Эйлеровы графы и критерий эйлеровости. Задача о соединении городов. Алгоритм Краскала. Компоненты связности и сильной связности - алгоритмы их нахождения. Расстояния на графах, алгоритм Дейкстры. Помеченные графы. Перечисление помеченных деревьев (теорема Келли). раскраски графов. Хроматический многочлен графа, его нахождение и свойства.

Рекомендуемая учебная литература:

1.Нефедов В.Н., Осипова В.А. Курс дискретной математики: М.:

Изд-во МАИ. 1992. 264 с.

2.Яблонский С.В. Введение в дискретную математику: М.: Наука.

1979

3.Кузнецов О.П., Адельсон-Вельский Г.М. Дискретная математика для инженеров: М.: Энергоатомиздат. 1988

4.Горбатов В.А. Основы дискретной математики: М.: ВШ. 1986

5.Кук Д., Бейз Г. Компьютерная математика: М.: Наука. 1990

6.Биркгоф Г., Барти Т. Современная прикладная алгебра: М.: Мир.

1976

7.Зыков А.А. Основы теории графов: М.: Наука. 1987

8.Рейнгольд Э., Нивергельд Ю., Део Н. Комбинаторные алгоритмы. Теория и практика: М.: Мир.1980. 476 с.

9.Басакер Р., Саати Т. Конечные графы и сети: М.:Наука.1974. 366 с.

10.Емеличев В.А., Мельников О.И., Сарванов В.А., Тышкевич Р.И. Лекции по теории графов: М.: Наука. 1990

11.Харари Ф. Теория графов: М.: Мир. 1973

12.Уилсон Р. Введение в теорию графов: М.: Мир. 1977

13.Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А Сборник задач по дискретной математике: М.: Наука. 1977

14.Лавров И.А., Максимова Л.Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов: М.: Наука. 1975

15.Ерусалимский Я.М. Дискретная математика: теория, задачи, приложения: М.: Вузовская книга, 1998, 280 с.